この問題は、与えられた条件を満たす2つの自然数 $M$ と $N$ ($M > N$) を求める問題です。具体的には、以下の2つの小問に分かれています。 (1) $M$ と $N$ はともに2桁の自然数であり、差が36、最大公約数が9であるとき、$M$ と $N$ の組 ($M, N$) をすべて求めます。 (2) $M$ と $N$ の和が21、最小公倍数が36であるとき、$M$ と $N$ の組 ($M, N$) を求めます。

1. 問題の内容

この問題は、与えられた条件を満たす2つの自然数 $M$ と $N$ ($M > N$) を求める問題です。具体的には、以下の2つの小問に分かれています。

(1) $M$ と $N$ はともに2桁の自然数であり、差が36、最大公約数が9であるとき、$M$ と $N$ の組 ($M, N$) をすべて求めます。

(2) $M$ と $N$ の和が21、最小公倍数が36であるとき、$M$ と $N$ の組 ($M, N$) を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$M > N$ であり、$M$ と $N$ の差が36であることから、$M - N = 36$ が成り立ちます。

また、$M$ と $N$ の最大公約数が9であることから、$M = 9a$、$N = 9b$ ($a > b$) と表せます。ここで、$a$ と $b$ は互いに素な自然数です。

$M - N = 9a - 9b = 9(a - b) = 36$ より、$a - b = 4$ が得られます。

$M$ と $N$ はともに2桁の自然数なので、$10 \le M \le 99$ かつ $10 \le N \le 99$ です。

$10 \le 9a \le 99$ より、$10/9 \le a \le 11$ なので、$2 \le a \le 11$ です。

$10 \le 9b \le 99$ より、$10/9 \le b \le 11$ なので、$2 \le b \le 11$ です。

また、$a - b = 4$ より、$a = b + 4$ です。

$a$ と $b$ は互いに素なので、ありうる $a$ と $b$ の組を考えます。

$b = 2$ のとき、$a = 6$ であり、$M = 9 \times 6 = 54$、$N = 9 \times 2 = 18$。このとき、gcd(6,2)=2なので不適。

$b = 3$ のとき、$a = 7$ であり、$M = 9 \times 7 = 63$、$N = 9 \times 3 = 27$。このとき、gcd(7,3)=1なので適する。

$b = 4$ のとき、$a = 8$ であり、$M = 9 \times 8 = 72$、$N = 9 \times 4 = 36$。このとき、gcd(8,4)=4なので不適。

$b = 5$ のとき、$a = 9$ であり、$M = 9 \times 9 = 81$、$N = 9 \times 5 = 45$。このとき、gcd(9,5)=1なので適する。

$b = 6$ のとき、$a = 10$ であり、$M = 9 \times 10 = 90$、$N = 9 \times 6 = 54$。このとき、gcd(10,6)=2なので不適。

$b = 7$ のとき、$a = 11$ であり、$M = 9 \times 11 = 99$、$N = 9 \times 7 = 63$。このとき、gcd(11,7)=1なので適する。

したがって、($M, N$) = (63, 27), (81, 45), (99, 63) です。

(2)

$M + N = 21$ であり、$LCM(M, N) = 36$ です。

$M = 21 - N$ を $LCM(M, N) = 36$ に代入することを考えます。

$M$ と $N$ は21以下なので、候補を絞ります。

$36 = 2^2 \times 3^2$ なので、$M$ と $N$ は、$2^2$ や $3^2$ を因数に持つ可能性があります。

候補としては、$M = 4, 9, 12, 18$、$N = 4, 9, 12, 18$ などが考えられます。

$M+N=21$である必要があるため、条件を満たす組を探します。

$12+9 = 21$である。$LCM(12,9)=36$であるため、$M=12, N=9$が条件を満たします。

$M+N=21$を満たす他の組み合わせを検討します。

$LCM(4,17)$を考えると、$4 \times 17=68$となるので、$LCM(M,N) = 36$を満たさない。

$LCM(18, 3) = 18$となるので不適。

他の数についても同様に調べると、$M=12, N=9$のみが条件を満たします。

したがって、$M=12, N=9$です。

3. 最終的な答え

(1) ($M, N$) = (63, 27), (81, 45), (99, 63)

(2) ($M, N$) = (12, 9)