$V = \mathbb{R}^3$ の部分空間 $W_1$ と $W_2$ が与えられたとき、$V = W_1 \oplus W_2$ を満たすことを示す問題です。ここで $\oplus$ は直和を表します。つまり、$V$の任意の元が$W_1$の元と$W_2$の元の和として一意的に表されることを示す必要があります。 具体的には、以下の３つの場合について、$V=W_1 \oplus W_2$ を示す必要があります。 (1) $W_1 = \{ a \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \mid a,b \in \mathbb{R} \}$, $W_2 = \{ c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \mid c \in \mathbb{R} \}$ (2) $W_1 = \{ a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \mid a,b \in \mathbb{R} \}$, $W_2 = \{ c \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \mid c \in \mathbb{R} \}$ (3) $W_1 = \text{Ker}(T)$, $W_2 = \{ a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \mid a \in \mathbb{R} \}$, ここで $T(\mathbf{x}) = x_1 - x_2 + 2x_3$

1. 問題の内容

$V = \mathbb{R}^3$ の部分空間 $W_1$ と $W_2$ が与えられたとき、$V = W_1 \oplus W_2$ を満たすことを示す問題です。ここで $\oplus$ は直和を表します。つまり、$V$の任意の元が$W_1$の元と$W_2$の元の和として一意的に表されることを示す必要があります。

具体的には、以下の３つの場合について、$V=W_1 \oplus W_2$ を示す必要があります。

(1) $W_1 = \{ a \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \mid a,b \in \mathbb{R} \}$, $W_2 = \{ c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \mid c \in \mathbb{R} \}$

(2) $W_1 = \{ a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \mid a,b \in \mathbb{R} \}$, $W_2 = \{ c \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \mid c \in \mathbb{R} \}$

(3) $W_1 = \text{Ker}(T)$, $W_2 = \{ a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \mid a \in \mathbb{R} \}$, ここで $T(\mathbf{x}) = x_1 - x_2 + 2x_3$

2. 解き方の手順

$V = W_1 \oplus W_2$ を示すには、以下の2つの条件を示す必要があります。

(i) $V = W_1 + W_2$, つまり、$V$ の任意の元 $\mathbf{v}$ が $\mathbf{w}_1 \in W_1$ と $\mathbf{w}_2 \in W_2$ を用いて $\mathbf{v} = \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2$ と表せること。

(ii) $W_1 \cap W_2 = \{\mathbf{0}\}$, つまり、$W_1$ と $W_2$ の共通部分は零ベクトルのみであること。

(1)

(i) 任意の $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3$ に対して、

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ a+b+c \\ -a+b \end{bmatrix}$

となる $a,b,c$ が存在することを示します。これは連立方程式

$a = x$, $a+b+c=y$, $-a+b=z$

を解くことで確かめられます。 $a=x$, $b=z+a=z+x$, $c=y-a-b=y-x-(z+x)=y-2x-z$ となります。

したがって、

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} + (z+x) \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + (y-2x-z) \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

となり、$V = W_1 + W_2$ が成り立ちます。

(ii) $\mathbf{v} \in W_1 \cap W_2$ とすると、

$\mathbf{v} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

を満たす $a,b,c$ が存在します。よって、

$\begin{bmatrix} a \\ a+b \\ -a+b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ c \\ 0 \end{bmatrix}$

となるので、$a=0$, $a+b=c$, $-a+b=0$ が成り立ちます。

$a=0$ より、$b=0$ であり、$c=0$ となります。

したがって、$W_1 \cap W_2 = \{ \mathbf{0} \}$ が成り立ちます。

(2)

(i) 任意の $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3$ に対して、

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+c \\ b+2c \\ -a-b \end{bmatrix}$

となる $a,b,c$ が存在することを示します。これは連立方程式

$a+c = x$, $b+2c = y$, $-a-b=z$

を解くことで確かめられます。第1式と第3式から、$-b = z - x +c$を第2式に代入すると、$-z+x+c+2c=y$ すなわち $3c= y+z-x$. したがって、$c = \frac{y+z-x}{3}$. $a = x - c = x - \frac{y+z-x}{3} = \frac{4x-y-z}{3}$ , $b= y - 2c = y- \frac{2(y+z-x)}{3} = \frac{2x+y-2z}{3}$.

したがって、$V = W_1 + W_2$ が成り立ちます。

(ii) $\mathbf{v} \in W_1 \cap W_2$ とすると、

$\mathbf{v} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$

を満たす $a,b,c$ が存在します。よって、

$\begin{bmatrix} a \\ b \\ -a-b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ 2c \\ 0 \end{bmatrix}$

となるので、$a=c$, $b=2c$, $-a-b=0$ が成り立ちます。

$-a-b=0$ より、$-c-2c=0$ なので $-3c = 0$. したがって、$c=0$ であり、$a=0,b=0$ となります。

したがって、$W_1 \cap W_2 = \{ \mathbf{0} \}$ が成り立ちます。

(3)

まず、$W_1 = \text{Ker}(T)$ を求めます。$\mathbf{x} \in \text{Ker}(T)$ とすると、$T(\mathbf{x}) = x_1 - x_2 + 2x_3 = 0$ を満たします。したがって、$x_1 = x_2 - 2x_3$ となります。

よって、$W_1 = \{ \begin{bmatrix} x_2 - 2x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \mid x_2, x_3 \in \mathbb{R} \} = \{ x_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \mid x_2, x_3 \in \mathbb{R} \}$ となります。

(i) 任意の $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3$ に対して、

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = b \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b-2c+a \\ b \\ c \end{bmatrix}$

となる $a,b,c$ が存在することを示します。これは連立方程式

$b-2c+a = x$, $b = y$, $c = z$

を解くことで確かめられます。 $b=y$, $c=z$, $a=x-b+2c=x-y+2z$

したがって、

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = y \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + (x-y+2z) \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

となり、$V = W_1 + W_2$ が成り立ちます。

(ii) $\mathbf{v} \in W_1 \cap W_2$ とすると、

$\mathbf{v} = b \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

を満たす $a,b,c$ が存在します。よって、

$\begin{bmatrix} b-2c \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

となるので、$b-2c=a$, $b=0$, $c=0$ が成り立ちます。

$b=0$, $c=0$ より、$a=0$ となります。

したがって、$W_1 \cap W_2 = \{ \mathbf{0} \}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1), (2), (3) のすべての場合において、$V = W_1 \oplus W_2$ が成り立つ。