実数 $a$ を定数とする。連立不等式 $\begin{cases} |x-1| \leq 2 \\ x^2 - (2a+3)x + a^2 + 3a - 10 \leq 0 \end{cases}$ を満たす実数 $x$ が存在するような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とする。連立不等式

$\begin{cases}

|x-1| \leq 2 \\

x^2 - (2a+3)x + a^2 + 3a - 10 \leq 0

\end{cases}$

を満たす実数 $x$ が存在するような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、1つ目の不等式 $|x-1| \leq 2$ を解く。

これは $-2 \leq x-1 \leq 2$ と同値であるから、各辺に1を足して $-1 \leq x \leq 3$ となる。

次に、2つ目の不等式 $x^2 - (2a+3)x + a^2 + 3a - 10 \leq 0$ を解く。

左辺を因数分解することを考える。$x^2 - (2a+3)x + a^2 + 3a - 10 = (x-A)(x-B)$ とすると、$A+B = 2a+3$ かつ $AB = a^2+3a-10$ となる $A, B$ を見つける必要がある。

$a^2+3a-10 = (a+5)(a-2)$ であるから、 $A = a+5, B = a-2$ とすると $A+B = (a+5) + (a-2) = 2a+3$ となり条件を満たす。

よって、$x^2 - (2a+3)x + a^2 + 3a - 10 = (x-(a+5))(x-(a-2))$ と因数分解できる。

したがって、不等式は $(x-(a+5))(x-(a-2)) \leq 0$ となる。

これを解くと、$a-2 \leq x \leq a+5$ となるか、$a+5 \leq x \leq a-2$ となるかのいずれかである。

ここで $a-2 < a+5$ であるから、$a-2 \leq x \leq a+5$ が成り立つ。

連立不等式を満たす実数 $x$ が存在するためには、 $-1 \leq x \leq 3$ と $a-2 \leq x \leq a+5$ の共通部分が存在する必要がある。

つまり、

$\begin{cases}

a-2 \leq 3 \\

a+5 \geq -1

\end{cases}$

が成立する必要がある。

1つ目の不等式より、$a \leq 5$ となる。

2つ目の不等式より、$a \geq -6$ となる。

したがって、$-6 \leq a \leq 5$ が求める $a$ の範囲である。

3. 最終的な答え

$-6 \leq a \leq 5$