与えられた三角関数の式をsin関数のみで表すように合成する問題です。具体的には、以下の2つの式を埋める問題です。 * $-\cos \theta = \sin (\theta + ?)$ * $\sin \theta - \cos \theta = ? \sin (\theta + ?)$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式をsin関数のみで表すように合成する問題です。具体的には、以下の2つの式を埋める問題です。

* $-\cos \theta = \sin (\theta + ?)$

* $\sin \theta - \cos \theta = ? \sin (\theta + ?)$

2. 解き方の手順

(1) $-\cos \theta = \sin (\theta + ?)$ について

三角関数の性質より、

$\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta$

であるため、両辺に-1をかけると

$-\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\cos \theta$

さらに、$\sin(x + \pi) = -\sin x$の性質を用いると

$\sin(\theta + \frac{\pi}{2} + \pi) = -\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\cos \theta$

したがって、

$\sin(\theta + \frac{3\pi}{2}) = -\cos \theta$

また、$\sin(\theta - \frac{\pi}{2}) = \sin(\theta + (-\frac{\pi}{2})) = -\cos\theta$となるので、$-\cos\theta = \sin(\theta - \frac{\pi}{2})$とも表せます。

(2) $\sin \theta - \cos \theta = ? \sin (\theta + ?)$ について

合成公式を利用します。$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)$ , ただし $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, $\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

今回の場合は、$a=1$, $b=-1$なので、$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \alpha)$

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}}$となる$\alpha$は、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$

よって、

$\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$

3. 最終的な答え

* $-\cos \theta = \sin(\theta + \frac{3\pi}{2})$ または $-\cos \theta = \sin(\theta - \frac{\pi}{2})$

* $\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$