2次方程式 $2x^2 - 3x + 8 = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 3x + 8 = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の解と係数の関係を利用します。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha$、$\beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

となります。

与えられた2次方程式 $2x^2 - 3x + 8 = 0$ において、

$a = 2$、 $b = -3$、 $c = 8$ ですから、

$\alpha + \beta = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$

$\alpha \beta = \frac{8}{2} = 4$

次に、$\alpha^2 + \beta^2$ を $(\alpha + \beta)$ と $\alpha \beta$ を用いて表します。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$

この式に、$\alpha + \beta = \frac{3}{2}$ と $\alpha \beta = 4$ を代入します。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\frac{3}{2})^2 - 2(4) = \frac{9}{4} - 8 = \frac{9}{4} - \frac{32}{4} = -\frac{23}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{23}{4}$