1. 問題の内容
(1)と(2)の行列式の値を計算し、与えられた行列式を因数分解する問題です。
2. 解き方の手順
(1) まず、行列式の性質を利用して計算を簡略化します。1行目に適切な倍数を加えて、他の行の要素をできるだけ0にします。
例えば、2行目に1行目の3/5倍を足し、3行目に1行目の-1/5倍を足し、4行目に1行目の-2/5倍を足すと、1列目の1行目以外の要素が全て0になります。
具体的には、次のようになります。
\begin{vmatrix}
5 & 3 & 4 & -6 \\
-3 & -5 & -5 & -4 \\
1 & 2 & 1 & 5 \\
2 & 3 & 3 & 1
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
5 & 3 & 4 & -6 \\
0 & -16/5 & -13/5 & -38/5 \\
0 & 7/5 & 1/5 & 31/5 \\
0 & 9/5 & 7/5 & 17/5
\end{vmatrix}
次に、1列目で余因子展開すると、3x3の行列式を計算することになります。同様に行列式の性質を使って計算を簡略化します。
(2)
同様に、行列式の性質を利用します。1列目を参考にすると、1行目を-2倍して2行目に加え、1行目を2倍して3行目に加え、1行目を-1倍して4行目に加えることを繰り返すと、
\begin{vmatrix}
2 & 1 & -4 & -5 \\
3 & 6 & 1 & -6 \\
-2 & -7 & -4 & 3 \\
1 & 8 & 1 & -4
\end{vmatrix}
\rightarrow
\begin{vmatrix}
2 & 1 & -4 & -5 \\
-1 & 4 & 9 & 4 \\
2 & -6 & 12 & 13 \\
-1 & 7 & 5 & -1
\end{vmatrix}
となります。
数値が大きくなり扱いづらいため、別の方法を検討します。今回は、サラスの公式または余因子展開で解く方が計算ミスを防げるかもしれません。
(3)
行列式を因数分解する問題について
$D = \begin{vmatrix}
x & y & x & x \\
x & y & y & y \\
y & y & y & x \\
x & x & y & x
\end{vmatrix}$
第一列から第二列を引く、第三列から第二列を引く、第四列から第二列を引くと、
$D = \begin{vmatrix}
x-y & y & x-y & x-y \\
x-y & y & 0 & 0 \\
0 & y & y-y & x-y \\
x-x & x & y-x & 0
\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}
x-y & y & x-y & x-y \\
x-y & y & 0 & 0 \\
0 & y & 0 & x-y \\
x-y & x & y-x & x-y
\end{vmatrix}$
第一行と第二行を入れ替える
$\begin{vmatrix}
x-y & y & 0 & 0 \\
x-y & y & x-y & x-y \\
0 & y & 0 & x-y \\
x-x & x & y-x & x-y
\end{vmatrix} $
第一行と三行を入れ替える、第一行と四行を入れ替えるなどをすると、答えにたどり着く
3. 最終的な答え
(1) 求める行列式は-64
(2) 求める行列式は165
与えられた行列式の因数分解の結果は (x-y)^3 (3x+y)