$ \begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 & -6 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} $ **(2)** 4x4 行列の行列式を計算する: $ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix} $

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1. 問題の内容

1. **(1)** 4x4 行列の行列式を計算する:

$\begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 & -6 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

**(2)** 4x4 行列の行列式を計算する:

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

2. 4x4 行列の行列式を因数分解する:

$\begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix}$

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2. 解き方の手順

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1. (1)

1. 3行目を基準にして1行目、2行目、4行目を操作して、3行目の要素をすべて0にする。

(1) + (3) * (-5): 1行目を3行目の-5倍を加える

(2) + (3) * (3): 2行目を3行目の3倍を加える

(4) + (3) * (-2): 4行目を3行目の-2倍を加える

$\begin{vmatrix} 0 & -7 & -1 & -31 \\ 0 & 1 & -2 & 11 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 1 & -9 \end{vmatrix}$

2. 第一列で余因子展開を行う

$1 \cdot \begin{vmatrix} -7 & -1 & -31 \\ 1 & -2 & 11 \\ -1 & 1 & -9 \end{vmatrix}$

3. 1行目を基準にして2行目、3行目を操作して、1行目の要素をすべて0にする。

(2) + (1) * (1): 2行目を1行目の1倍を加える

(3) + (1) * (-1): 3行目を1行目の-1倍を加える

$\begin{vmatrix} -7 & -1 & -31 \\ -6 & -3 & -20 \\ 6 & 2 & 22 \end{vmatrix}$

4. 3行目を基準にして1行目、2行目を操作して、2行目の要素をすべて0にする。

(1) + (3) * (1/3): 1行目を3行目の1/3倍を加える

(2) + (3) * (1/2): 2行目を3行目の1/2倍を加える

$\begin{vmatrix} -5 & -1/3 & -47/3 \\ -3 & -2 & -9 \\ 6 & 2 & 22 \end{vmatrix}$

5. 行列式を計算する。

$(-5) \cdot (-2 \cdot 22 - (-9) \cdot 2) - (-1/3) \cdot (-3 \cdot 22 - (-9) \cdot 6) + (-47/3) \cdot (-3 \cdot 2 - (-2) \cdot 6)$

$(-5) \cdot (-44 + 18) + (1/3) \cdot (66 + 54) - (47/3) \cdot (-6 + 12)$

$(-5) \cdot (-26) + (1/3) \cdot (12) - (47/3) \cdot (6)$

$130 + 4 - 94 = 40$

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1. (2)

1. 1列目を基準にして2,3,4行目を操作して、1列目の要素をすべて0にする。

(2) + (1) * (-3/2): 2行目を1行目の-3/2倍を加える

(3) + (1) * (1): 3行目を1行目の1倍を加える

(4) + (1) * (-1/2): 4行目を1行目の-1/2倍を加える

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 9/2 & 7 & 3/2 \\ 0 & -6 & -8 & -2 \\ 0 & 15/2 & 3 & 1/2 \end{vmatrix}$

2. 第一列で余因子展開を行う

$2 \cdot \begin{vmatrix} 9/2 & 7 & 3/2 \\ -6 & -8 & -2 \\ 15/2 & 3 & 1/2 \end{vmatrix}$

3. 1行目を基準にして2行目、3行目を操作して、1行目の要素をすべて0にする。

(2) + (1) * (4/3): 2行目を1行目の4/3倍を加える

(3) + (1) * (-5/3): 3行目を1行目の-5/3倍を加える

$2 \cdot \begin{vmatrix} 9/2 & 7 & 3/2 \\ 0 & 4/3 & 0 \\ 0 & -26/3 & -2 \end{vmatrix}$

4. 行列式を計算する。

$2 \cdot \frac{9}{2} \cdot (\frac{4}{3} \cdot -2 - 0 \cdot -\frac{26}{3}) - 7 \cdot (0 \cdot -2 - 0 \cdot 0) + \frac{3}{2} \cdot (0 \cdot -\frac{26}{3} - \frac{4}{3} \cdot 0)$

$2 \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{-8}{3} = -24$

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2.

1. 1列目から3列目を引く: (1) + (3) * (-1)

$\begin{vmatrix} x-x & y & x & x \\ x-y & y & y & y \\ y-y & y & y & x \\ x-y & x & y & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & y & x & x \\ x-y & y & y & y \\ 0 & y & y & x \\ x-y & x & y & x \end{vmatrix}$

2. 1行目から3行目を引く: (1) + (3) * (-1)

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & x-y & x-x \\ x-y & y & y & y \\ 0 & y & y & x \\ x-y & x & y & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & x-y & 0 \\ x-y & y & y & y \\ 0 & y & y & x \\ x-y & x & y & x \end{vmatrix}$

3. 1列目から4列目を引く: (1) + (4) * (-1)

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & x-y & 0 \\ x-2y & y & y & y \\ -x & y & y & x \\ -y & x & y & x \end{vmatrix}$

4. 1行目を基準にして展開する:

$(x-y) \cdot \begin{vmatrix} x-y & y & y \\ 0 & y & x \\ x-y & x & x \end{vmatrix}$

5. 2行目を基準にして展開する

$x-y[ (x-y) \cdot (y \cdot x - x \cdot x )+ x-y \cdot (y \cdot x -x \cdot y)]$

$x-y[ (x-y) \cdot (yx - x^2 )+ x-y \cdot (0)]$

$(x-y)(x-y)(yx - x^2 )$

$(x-y)^2 x (y - x )$

$-x (x-y)^3$

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3. 最終的な答え

1. **(1)** 40

**(2)** -24

2. $-x (x-y)^3$