## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

与えられた行列式を計算し、因数分解を行う問題です。具体的には、以下の3つの小問を解く必要があります。

(1) 4x4の行列式を計算する。

(2) 別の4x4の行列式を計算する。

(3) 4x4の行列式を因数分解する。

##

2. 解き方の手順

**

1. (1)の行列式の計算**

行列式を計算するために、行基本変形を用いて、できるだけ多くの要素を0にすることを目指します。

元の行列は

$\begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 & -6 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

まず、3行目を1行目と入れ替えます。(1行目と3行目を入れ替え)

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 5 & 3 & 4 & -6 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

この操作で全体の符号が反転することに注意します。

次に、以下の行基本変形を行います。

* 2行目に1行目の3倍を加える。 (2行目に1行目の3倍を加える)

* 3行目に1行目の-5倍を加える。 (3行目に1行目の-5倍を加える)

* 4行目に1行目の-2倍を加える。 (4行目に1行目の-2倍を加える)

これにより、行列は以下のようになります。

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 11 \\ 0 & -7 & -1 & -31 \\ 0 & -1 & 1 & -9 \end{vmatrix}$

次に、以下の行基本変形を行います。

* 3行目に2行目の7倍を加える。 (3行目に2行目の7倍を加える)

* 4行目に2行目を加える。 (4行目に2行目を加える)

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 11 \\ 0 & 0 & -15 & 46 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}$

次に、4行目に3行目の-1/15倍を加える。

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 11 \\ 0 & 0 & -15 & 46 \\ 0 & 0 & 0 & 2 - 46/15 \end{vmatrix}$

$2 - 46/15 = (30 - 46)/15 = -16/15$

したがって、行列式は

$-(1 \cdot 1 \cdot (-15) \cdot (-16/15)) = -16$

**

2. (2)の行列式の計算**

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

1行目を1/2倍します.

$\begin{vmatrix} 1 & 1/2 & -2 & -5/2 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

全体の係数として2が出てきます.

次に、以下の行基本変形を行います。

* 2行目に1行目の-3倍を加える。

* 3行目に1行目の2倍を加える。

* 4行目に1行目の-1倍を加える。

$\begin{vmatrix} 1 & 1/2 & -2 & -5/2 \\ 0 & 9/2 & 7 & 3/2 \\ 0 & -6 & -8 & -2 \\ 0 & 15/2 & 3 & -3/2 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 9/2 & 7 & 3/2 \\ -6 & -8 & -2 \\ 15/2 & 3 & -3/2 \end{vmatrix}$

= $9/2*((-8)*(-3/2) - (-2)*3) - 7((-6)*(-3/2) - (-2)*15/2) + 3/2((-6)*3 - (-8)*15/2)$

= $9/2*(12 + 6) - 7(9 + 15) + 3/2(-18 + 60)$

= $9/2*18 - 7*24 + 3/2*42$

= $81 - 168 + 63 = -24$

もとの式は2倍なので、答えは-48。

**

3. 行列式の因数分解**

与えられた行列は

$\begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix}$

1列目から2列目を引く。

$\begin{vmatrix} x-y & y & x & x \\ x-y & y & y & y \\ 0 & y & y & x \\ x-x & x & y & x \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} x-y & y & x & x \\ x-y & y & y & y \\ 0 & y & y & x \\ 0 & x & y & x \end{vmatrix}$

1行目から2行目を引く。

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & x-y & x-y \\ x-y & y & y & y \\ 0 & y & y & x \\ 0 & x & y & x \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 0 & x-y & x-y \\ y & y & x \\ x & y & x \end{vmatrix}$ = $(x-y)(xy - xy) - (x-y)(y^2 - xy) = -(x-y)(y^2-xy) = -(x-y)(-y(x-y)) = y(x-y)^2$

$(x-y)[0 - (x-y)(x-y) ]$

答えは0

##

3. 最終的な答え

(1) -16

(2) -48

(3) 0