(1) $\begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 & -6 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}$ (2) $\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

## 線形代数学の問題

画像に示された線形代数学の問題を解きます。問題は、2つの行列式の計算と、1つの行列式の因数分解です。

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1. 問題の内容

1. 次の行列式を計算せよ。

(1) $\begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 & -6 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

(2) $\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

2. 次の行列式を因数分解せよ。

$\begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix}$

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2. 解き方の手順

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1. (1) の行列式の計算

行列式の計算には、行基本変形を利用します。

1. 3行目を基準にして、1行目、2行目、4行目の1列目を0にするように変形します。

* 1行目 - 5 * 3行目 $\rightarrow$ 1行目

* 2行目 + 3 * 3行目 $\rightarrow$ 2行目

* 4行目 - 2 * 3行目 $\rightarrow$ 4行目

これにより、行列式は次のようになります。

$\begin{vmatrix} 0 & -7 & -1 & -31 \\ 0 & 1 & -2 & 11 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 1 & -9 \end{vmatrix}$

2. 1列目に関して余因子展開を行います。

$\begin{vmatrix} -7 & -1 & -31 \\ 1 & -2 & 11 \\ -1 & 1 & -9 \end{vmatrix}$

3. 2行目を基準にして、1行目、3行目の1列目を0にするように変形します。

* 1行目 + 7 * 2行目 $\rightarrow$ 1行目

* 3行目 + 1 * 2行目 $\rightarrow$ 3行目

これにより、行列式は次のようになります。

$\begin{vmatrix} 0 & -15 & 46 \\ 1 & -2 & 11 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}$

4. 1列目に関して余因子展開を行います。

$\begin{vmatrix} -15 & 46 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (-15) \cdot 2 - 46 \cdot (-1) = -30 + 46 = 16$

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1. (2) の行列式の計算

行列式の計算には、行基本変形を利用します。

1. 1行目を基準にして、2行目、3行目、4行目の1列目を0にするように変形します。

* 2行目 - 3/2 * 1行目 $\rightarrow$ 2行目

* 3行目 + 1 * 1行目 $\rightarrow$ 3行目

* 4行目 - 1/2 * 1行目 $\rightarrow$ 4行目

これにより、行列式は次のようになります。

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 9/2 & 7 & 3/2 \\ 0 & -6 & -8 & -2 \\ 0 & 15/2 & 3 & -3/2 \end{vmatrix}$

2. 1列目に関して余因子展開を行います。

$2\begin{vmatrix} 9/2 & 7 & 3/2 \\ -6 & -8 & -2 \\ 15/2 & 3 & -3/2 \end{vmatrix}$

3. 2行目を基準にして、1行目、3行目の2列目を0にするように変形します。

* 1行目 + 7/8 * 2行目 $\rightarrow$ 1行目

* 3行目 + 3/8 * 2行目 $\rightarrow$ 3行目

これにより、行列式は次のようになります。

$2\begin{vmatrix} -33/8 & 0 & -5/8 \\ -6 & -8 & -2 \\ -9/8 & 0 & -21/8 \end{vmatrix}$

4. 2列目に関して余因子展開を行います。

$2 \cdot (-8) \cdot \begin{vmatrix} -33/8 & -5/8 \\ -9/8 & -21/8 \end{vmatrix} = -16 \cdot \left( \frac{-33}{8} \cdot \frac{-21}{8} - \frac{-5}{8} \cdot \frac{-9}{8} \right) = -16 \cdot \left( \frac{693}{64} - \frac{45}{64} \right) = -16 \cdot \frac{648}{64} = -162$

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2. 行列式の因数分解

$\begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix}$

1. 1列目 - 3列目 $\rightarrow$ 1列目

$\begin{vmatrix} 0 & y & x & x \\ x-y & y & y & y \\ 0 & y & y & x \\ x-y & x & y & x \end{vmatrix}$

2. 1列目に関して余因子展開を行います。

$(x-y) \begin{vmatrix} y & x & x \\ y & y & x \\ x & y & x \end{vmatrix} - (x-y) \begin{vmatrix} y & x & x \\ y & y & y \\ y & y & x \end{vmatrix}$

3. 因数(x-y)で括ります

$(x-y) \left( \begin{vmatrix} y & x & x \\ y & y & x \\ x & y & x \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} y & x & x \\ y & y & y \\ y & y & x \end{vmatrix} \right)$

4. 第一項の行列式の計算

$\begin{vmatrix} y & x & x \\ y & y & x \\ x & y & x \end{vmatrix} = y \begin{vmatrix} y & x \\ y & x \end{vmatrix} - x \begin{vmatrix} y & x \\ x & x \end{vmatrix} + x \begin{vmatrix} y & y \\ x & y \end{vmatrix} = 0 -x(yx-x^2)+x(y^2-yx) = -yx^2+x^3+xy^2-yx^2=x^3+xy^2-2yx^2$

5. 第二項の行列式の計算

$\begin{vmatrix} y & x & x \\ y & y & y \\ y & y & x \end{vmatrix} = y \begin{vmatrix} y & y \\ y & x \end{vmatrix} - x \begin{vmatrix} y & y \\ y & x \end{vmatrix} + x \begin{vmatrix} y & y \\ y & y \end{vmatrix} = y(yx-y^2)-x(yx-y^2)+0 = xy^2-y^3-x^2y+xy^2=2xy^2-x^2y-y^3$

6. 全体の計算

$(x-y) (x^3+xy^2-2yx^2 - (2xy^2-x^2y-y^3)) = (x-y) (x^3+xy^2-2yx^2 - 2xy^2+x^2y+y^3) = (x-y) (x^3+y^3-xy^2-x^2y) = (x-y)(x^3+y^3 -xy(x+y)) = (x-y)(x+y)(x^2-xy+y^2 - xy) = (x-y)(x+y)(x^2-2xy+y^2) = (x-y)(x+y)(x-y)^2 = (x-y)^3 (x+y)$

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3. 最終的な答え

1. (1) の行列式の値: 16

2. (2) の行列式の値: -162

3. 行列式の因数分解: $(x-y)^3 (x+y)$