(1) 4x4 行列 $\begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 & -6 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}$ の行列式を計算する。 (2) 4x4 行列 $\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix}$ の行列式を計算する。 (3) 4x4 行列 $\begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix}$ の行列式を因数分解する。

1. 問題の内容

(1) 4x4 行列 $\begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 & -6 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}$ の行列式を計算する。

(2) 4x4 行列 $\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix}$ の行列式を計算する。

(3) 4x4 行列 $\begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix}$ の行列式を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) 行列式の計算(1)

まず、行基本変形を用いて行列式を計算する。

1行目を基準に、2行目、3行目、4行目をそれぞれ操作して、1列目の成分を0にする。

2行目 + 1行目 * (3/5)

3行目 + 1行目 * (-1/5)

4行目 + 1行目 * (-2/5)

$\begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 & -6 \\ 0 & -16/5 & -13/5 & -38/5 \\ 0 & 7/5 & 1/5 & 31/5 \\ 0 & 9/5 & 7/5 & 7/5 \end{vmatrix} = 5 \begin{vmatrix} -16/5 & -13/5 & -38/5 \\ 7/5 & 1/5 & 31/5 \\ 9/5 & 7/5 & 7/5 \end{vmatrix}$

次に3x3行列の行列式を計算するために、各行に5を掛ける。行列式全体を$1/5^2$で割る必要がある。

$5 \cdot \frac{1}{5^2} \begin{vmatrix} -16 & -13 & -38 \\ 7 & 1 & 31 \\ 9 & 7 & 7 \end{vmatrix} = \frac{1}{5} \begin{vmatrix} -16 & -13 & -38 \\ 7 & 1 & 31 \\ 9 & 7 & 7 \end{vmatrix}$

2行目を基準に、1行目、3行目をそれぞれ操作して、2列目の成分を0にする。

1行目 + 2行目 * 13

3行目 + 2行目 * (-7)

$\frac{1}{5} \begin{vmatrix} 75 & 0 & 365 \\ 7 & 1 & 31 \\ -40 & 0 & -210 \end{vmatrix} = \frac{1}{5} \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 75 & 365 \\ -40 & -210 \end{vmatrix}$

$\frac{1}{5}(75 \cdot (-210) - 365 \cdot (-40)) = \frac{1}{5}(-15750 + 14600) = \frac{1}{5}(-1150) = -230$

(2) 行列式の計算(2)

1行目を基準に、2行目、3行目、4行目をそれぞれ操作して、1列目の成分を0にする。

2行目 + 1行目 * (-3/2)

3行目 + 1行目 * (2/2)

4行目 + 1行目 * (-1/2)

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 9/2 & 7 & 3/2 \\ 0 & -6 & -8 & -2 \\ 0 & 15/2 & 3 & -3/2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 9/2 & 7 & 3/2 \\ -6 & -8 & -2 \\ 15/2 & 3 & -3/2 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 9 & 14 & 3 \\ -6 & -8 & -2 \\ 15 & 6 & -3 \end{vmatrix}$

2行目を基準に、1行目、3行目をそれぞれ操作して、1列目の成分を0にする。

1行目 * 3 - 2行目 * 3/2

3行目 * 3 + 2行目 * 5/2

$2 (\begin{vmatrix} 27 & 42 & 9 \\ -6 & -8 & -2 \\ 45 & 18 & -9 \end{vmatrix}) = 2 (\frac{1}{3} \begin{vmatrix} 27 & 42 & 9 \\ -18 & -24 & -6 \\ 45 & 18 & -9 \end{vmatrix}) = 2(9(24 - 30)-14(18 - 30)+3(-36 + 120)) = 2(9(-6) - 14(-12) + 3(84)) = 2(-54 + 168 + 252) = 2(366) = 732$

$2 ( \frac{1}{2^3} \begin{vmatrix} 9 & 14 & 3 \\ -6 & -8 & -2 \\ 15 & 6 & -3 \end{vmatrix} ) = 2(9(-8 * -3 - -2*6) -14(-6 * -3 - -2*15) +3(-6 * 6 - -8 * 15)) = 2(9(24+12) - 14(18 + 30) + 3(-36 + 120)) = 2(9(36) - 14(48) + 3(84)) = 2(324 -672 + 252) = 2(-96) = -192$

$2* (\begin{vmatrix} 9/2 & 7 & 3/2 \\ -6 & -8 & -2 \\ 15/2 & 3 & -3/2 \end{vmatrix})= 2 * (9/2((-8)*(-3/2) - (-2)*3) - 7((-6)*(-3/2) - (-2)*(15/2)) + 3/2((-6)*3 - (-8)(15/2)) ) = 2*(9/2(12+6) - 7(9+15) + 3/2(-18+60))= 2*(9/2(18)-7(24) +3/2(42))= 2*(81 - 168 +63) = 2*(-24) = -48$

(3) 行列式の因数分解

$\begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix}$

1列目 - 3列目

$\begin{vmatrix} 0 & y & x & x \\ x-y & y & y & y \\ 0 & y & y & x \\ x-y & x & y & x \end{vmatrix}$

1行目 - 3行目

$\begin{vmatrix} 0 & y & x & x \\ x-y & y & y & y \\ 0 & y & y & x \\ x-y & x & y & x \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 0 & y & x & x \\ x-y & y & y & y \\ 0 & y & y & x \\ x-y & x & y & x \end{vmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) -230

(2) -48

(3) 判別式を計算できません。