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与えられた2つの4x4行列の行列式を計算する問題です。

代数学行列式線形代数行列の計算
2025/6/16

1. 問題の内容

与えられた2つの4x4行列の行列式を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1)
行列式
\begin{vmatrix}
5 & 3 & 4 & -6 \\
-3 & -5 & -5 & -4 \\
1 & 2 & 1 & 5 \\
2 & 3 & 3 & 1
\end{vmatrix}
を計算します。
1行目と3行目を入れ替えます（符号が反転します）。
-\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 & 5 \\
-3 & -5 & -5 & -4 \\
5 & 3 & 4 & -6 \\
2 & 3 & 3 & 1
\end{vmatrix}
2行目に1行目の3倍を加えます。3行目に1行目の-5倍を加えます。4行目に1行目の-2倍を加えます。
-\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 & 5 \\
0 & 1 & -2 & 11 \\
0 & -7 & -1 & -31 \\
0 & -1 & 1 & -9
\end{vmatrix}
3行目に2行目の7倍を加えます。4行目に2行目を加えます。
-\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 & 5 \\
0 & 1 & -2 & 11 \\
0 & 0 & -15 & 46 \\
0 & 0 & -1 & 2
\end{vmatrix}
3行目と4行目を入れ替えます（符号が反転します）。
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 & 5 \\
0 & 1 & -2 & 11 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & -15 & 46
\end{vmatrix}
4行目に3行目の-15倍を加えます。
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 & 5 \\
0 & 1 & -2 & 11 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 16
\end{vmatrix}
行列式は対角成分の積です。
1×1×(−1)×16=−161 \times 1 \times (-1) \times 16 = -16
(2)
行列式
\begin{vmatrix}
2 & 1 & -4 & -5 \\
3 & 6 & 1 & -6 \\
-2 & -7 & -4 & 3 \\
1 & 8 & 1 & -4
\end{vmatrix}
を計算します。
1行目と4行目を入れ替えます（符号が反転します）。
-\begin{vmatrix}
1 & 8 & 1 & -4 \\
3 & 6 & 1 & -6 \\
-2 & -7 & -4 & 3 \\
2 & 1 & -4 & -5
\end{vmatrix}
2行目に1行目の-3倍を加えます。3行目に1行目の2倍を加えます。4行目に1行目の-2倍を加えます。
-\begin{vmatrix}
1 & 8 & 1 & -4 \\
0 & -18 & -2 & 6 \\
0 & 9 & -2 & -5 \\
0 & -15 & -6 & 3
\end{vmatrix}
2行目を-1/2で割ります（全体に-2を掛けます）。
2\begin{vmatrix}
1 & 8 & 1 & -4 \\
0 & 9 & 1 & -3 \\
0 & 9 & -2 & -5 \\
0 & -15 & -6 & 3
\end{vmatrix}
3行目に2行目の-1倍を加えます。4行目に2行目の5/3倍を加えます。
2\begin{vmatrix}
1 & 8 & 1 & -4 \\
0 & 9 & 1 & -3 \\
0 & 0 & -3 & -2 \\
0 & 0 & -13/3 & -2
\end{vmatrix}
3行目を-3で割ります（全体に-1/3を掛けます）。
2 (-3) \begin{vmatrix}
1 & 8 & 1 & -4 \\
0 & 9 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 1 & 2/3 \\
0 & 0 & -13/3 & -2
\end{vmatrix}
4行目に3行目の13/3倍を加えます。
-6 \begin{vmatrix}
1 & 8 & 1 & -4 \\
0 & 9 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 1 & 2/3 \\
0 & 0 & 0 & 2/3
\end{vmatrix}
行列式は対角成分の積です。
−6×1×9×1×(2/3)=−36-6 \times 1 \times 9 \times 1 \times (2/3) = -36

3. 最終的な答え

(1) -16
(2) -36

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