4x4行列の行列式を計算する問題です。 行列は $ \begin{pmatrix} 5 & 3 & 4 & -6 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{pmatrix} $ です。

## 問題1(1)

1. 問題の内容

4x4行列の行列式を計算する問題です。

行列は

$$

\begin{pmatrix}

5 & 3 & 4 & -6 \\

-3 & -5 & -5 & -4 \\

1 & 2 & 1 & 5 \\

2 & 3 & 3 & 1

\end{pmatrix}

$$

です。

2. 解き方の手順

行基本変形を用いて行列式を計算します。

まず、第1行を基準にして、他の行の第1列の成分を0にします。

(2)行 + (1)行 * (3/5)

(3)行 + (1)行 * (-1/5)

(4)行 + (1)行 * (-2/5)

$$

\begin{pmatrix}

5 & 3 & 4 & -6 \\

0 & -16/5 & -13/5 & -38/5 \\

0 & 7/5 & 1/5 & 31/5 \\

0 & 9/5 & 7/5 & 17/5

\end{pmatrix}

$$

次に、第2列を基準にして、第3行、第4行の第2列成分を0にします。

(3)行 + (2)行 * (7/16)

(4)行 + (2)行 * (9/16)

$$

\begin{pmatrix}

5 & 3 & 4 & -6 \\

0 & -16/5 & -13/5 & -38/5 \\

0 & 0 & -71/80 & 287/80 \\

0 & 0 & 11/16 & 1/16

\end{pmatrix}

$$

最後に、第4行を基準にして、第3行の第3列成分を0にします。

(3)行 + (4)行 * (71/55)

$$

\begin{pmatrix}

5 & 3 & 4 & -6 \\

0 & -16/5 & -13/5 & -38/5 \\

0 & 0 & 0 & 21 \\

0 & 0 & 11/16 & 1/16

\end{pmatrix}

$$

(3)行と(4)行を入れ替えます。行を入れ替えるので、行列式の符号が変わります。

$$

\begin{pmatrix}

5 & 3 & 4 & -6 \\

0 & -16/5 & -13/5 & -38/5 \\

0 & 0 & 11/16 & 1/16 \\

0 & 0 & 0 & 21

\end{pmatrix}

$$

対角成分の積を計算すると、

$5 \times (-16/5) \times (11/16) \times 21 = -231$

符号を考慮して、求める行列式は231です。

3. 最終的な答え

231

## 問題1(2)

1. 問題の内容

4x4行列の行列式を計算する問題です。

行列は

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & -4 & -5 \\

3 & 6 & 1 & -6 \\

-2 & -7 & -4 & 3 \\

1 & 8 & 1 & -4

\end{pmatrix}

$$

です。

2. 解き方の手順

行基本変形を用いて行列式を計算します。

まず、第1行を基準にして、他の行の第1列の成分を0にします。

(2)行 + (1)行 * (-3/2)

(3)行 + (1)行 * (1)

(4)行 + (1)行 * (-1/2)

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & -4 & -5 \\

0 & 9/2 & 7 & 3/2 \\

0 & -6 & -8 & -2 \\

0 & 15/2 & 3 & -3/2

\end{pmatrix}

$$

次に、第2列を基準にして、第3行、第4行の第2列成分を0にします。

(3)行 + (2)行 * (4/3)

(4)行 + (2)行 * (-5/3)

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & -4 & -5 \\

0 & 9/2 & 7 & 3/2 \\

0 & 0 & 4/3 & 0 \\

0 & 0 & -26/3 & -3

\end{pmatrix}

$$

最後に、第4行を基準にして、第3行の第3列成分を0にします。

(4)行 + (3)行 * (13/2)

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & -4 & -5 \\

0 & 9/2 & 7 & 3/2 \\

0 & 0 & 4/3 & 0 \\

0 & 0 & 0 & -3

\end{pmatrix}

$$

対角成分の積を計算すると、

$2 \times (9/2) \times (4/3) \times (-3) = -36$

求める行列式は-36です。

3. 最終的な答え

-36

## 問題2

1. 問題の内容

次の4x4行列の行列式を因数分解する問題です。

$$

\begin{pmatrix}

x & y & x & x \\

x & y & y & y \\

y & y & y & x \\

x & x & y & x

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、列の変形を使って行列式を簡略化します。

(1)列 - (2)列:

$$

\begin{pmatrix}

x-y & y & x & x \\

x-y & y & y & y \\

0 & y & y & x \\

x-x & x & y & x

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

x-y & y & x & x \\

x-y & y & y & y \\

0 & y & y & x \\

0 & x & y & x

\end{pmatrix}

$$

次に、2行目から1行目を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

x-y & y & x & x \\

0 & 0 & y-x & y-x \\

0 & y & y & x \\

0 & x & y & x

\end{pmatrix}

$$

ここで第1列について展開すると、

$(x-y) \begin{vmatrix} 0 & y-x & y-x \\ y & y & x \\ x & y & x \end{vmatrix}$

第2行から第3行を引きます。

$(x-y) \begin{vmatrix} 0 & y-x & y-x \\ y-x & 0 & x-y \\ x & y & x \end{vmatrix}$

第1行で展開をすると

$(x-y) ( - (y-x) \begin{vmatrix} y-x & x-y \\ x & x \end{vmatrix} + (y-x) \begin{vmatrix} y-x & 0 \\ x & y \end{vmatrix})$

$= (x-y) ( - (y-x) (x(y-x) - (-y)(x-y)) + (y-x)(y(y-x)))$

$= (x-y) ( (x-y) (x(x-y)+x(x-y)) + (y-x) (y(y-x)))$

$= (x-y) ( (x-y) (2x(x-y)) + (y-x) (y(y-x)))$

$= (x-y)^2 (2x(x-y) - y(x-y))$

$= (x-y)^3 (2x - y)$

$= -(y-x)^3(2x-y)$

$= (x-y)^3(y-2x)$

3. 最終的な答え

$(x-y)^3 (y-2x)$