与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -8 & 13 \end{pmatrix}$ の階数 rank A を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -8 & 13 \end{pmatrix}$ の階数 rank A を求める問題です。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の階数を求めるために、行基本変形を行い、階段行列に変形します。

まず、2行目から1行目の2倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2-2(1) & -3-2(-2) & 4-2(3) \\ 3 & -8 & 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 3 & -8 & 13 \end{pmatrix}

$$

次に、3行目から1行目の3倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 3-3(1) & -8-3(-2) & 13-3(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 4 \end{pmatrix}

$$

最後に、3行目に2行目の2倍を足します。

$$

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -2+2(1) & 4+2(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

$$

変形後の行列は階段行列であり、0でない行の数は2です。したがって、行列 $A$ の階数は2です。

3. 最終的な答え

rank A = 2