与えられた複素数の等式を満たす実数 $x$ と $y$ の値を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) $(4+5i)x + (3-7i)y = 13+i$ (2) $(3+2i)x + 2i = 17 - (2-2i)y$ (3) $(1+i)(x-yi) = 2+i$ (4) $(2x-3i)(-5+4i) = 22+yi$

1. 問題の内容

与えられた複素数の等式を満たす実数 $x$ と $y$ の値を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) $(4+5i)x + (3-7i)y = 13+i$

(2) $(3+2i)x + 2i = 17 - (2-2i)y$

(3) $(1+i)(x-yi) = 2+i$

(4) $(2x-3i)(-5+4i) = 22+yi$

2. 解き方の手順

各等式の実部と虚部を比較することで、$x$ と $y$ に関する連立方程式を立て、それを解きます。

(1) $(4+5i)x + (3-7i)y = 13+i$

実部: $4x + 3y = 13$

虚部: $5x - 7y = 1$

この連立方程式を解きます。

1つ目の式を7倍、2つ目の式を3倍すると

$28x + 21y = 91$

$15x - 21y = 3$

足し合わせると

$43x = 94$

$x = \frac{94}{43}$

$4(\frac{94}{43}) + 3y = 13$

$3y = 13 - \frac{376}{43} = \frac{559-376}{43} = \frac{183}{43}$

$y = \frac{61}{43}$

(2) $(3+2i)x + 2i = 17 - (2-2i)y$

実部: $3x = 17 - 2y$

虚部: $2x + 2 = 2y$ つまり $x + 1 = y$

実部の式に代入すると、

$3x = 17 - 2(x+1)$

$3x = 17 - 2x - 2$

$5x = 15$

$x = 3$

$y = x + 1 = 3 + 1 = 4$

(3) $(1+i)(x-yi) = 2+i$

$(x+y) + (x-y)i = 2+i$

実部: $x+y = 2$

虚部: $x-y = 1$

この連立方程式を解きます。

2つの式を足すと

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

$y = 2 - x = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

(4) $(2x-3i)(-5+4i) = 22+yi$

$-10x + 8xi + 15i - 12i^2 = 22 + yi$

$-10x + 12 + (8x+15)i = 22+yi$

実部: $-10x + 12 = 22$

虚部: $8x+15 = y$

$-10x = 10$

$x = -1$

$y = 8(-1) + 15 = 7$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{94}{43}, y = \frac{61}{43}$

(2) $x = 3, y = 4$

(3) $x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2}$

(4) $x = -1, y = 7$