2桁の自然数 A があり、一の位は 0 ではありません。A の一の位と十の位を入れ替えた数を B とし、A の一の位と十の位の和を C とします。 (1) A の十の位の数を $x$ 、一の位の数を $y$ として、A と B をそれぞれ $x$、$y$ を使った式で表します。 (2) A + B + C が 12 の倍数になることを説明します。

1. 問題の内容

2桁の自然数 A があり、一の位は 0 ではありません。A の一の位と十の位を入れ替えた数を B とし、A の一の位と十の位の和を C とします。

(1) A の十の位の数を $x$ 、一の位の数を $y$ として、A と B をそれぞれ $x$、$y$ を使った式で表します。

(2) A + B + C が 12 の倍数になることを説明します。

2. 解き方の手順

(1)

* A の十の位が $x$ 、一の位が $y$ なので、A は $10x + y$ と表せます。

$$A = 10x + y$$

* B は A の十の位と一の位を入れ替えた数なので、$10y + x$ と表せます。

$$B = 10y + x$$

(2)

* C は A の十の位と一の位の和なので、$x + y$ と表せます。

$$C = x + y$$

* A + B + C を計算します。

$$A + B + C = (10x + y) + (10y + x) + (x + y)$$

$$= 10x + y + 10y + x + x + y$$

$$= 12x + 12y$$

$$= 12(x + y)$$

* $x$ と $y$ は整数なので、$x+y$ も整数です。したがって、$12(x + y)$ は 12 の倍数になります。

3. 最終的な答え

(1)

A = $10x + y$

B = $10y + x$

(2)

A + B + C = $(10x + y) + (10y + x) + (x + y) = 12x + 12y = 12(x + y)$ となる。

$x + y$ は整数なので、$12(x + y)$ は 12 の倍数である。

したがって、A + B + C は 12 の倍数である。