放物線 $y = x^2 + 2ax + b$ が点 $(1, 1)$ を通り、頂点が直線 $y = -x - 4$ 上にあるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 2ax + b$ が点 $(1, 1)$ を通り、頂点が直線 $y = -x - 4$ 上にあるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線が点 $(1, 1)$ を通るという条件から、$b$ を $a$ で表す。次に、放物線の頂点の座標を求め、それが直線 $y = -x - 4$ 上にあるという条件から、$a$ の値を求める。最後に、$a$ の値を用いて $b$ の値を求める。

ステップ1: 点 $(1, 1)$ を通る条件

放物線 $y = x^2 + 2ax + b$ が点 $(1, 1)$ を通るので、$x = 1$, $y = 1$ を代入すると、

$1 = 1^2 + 2a(1) + b$

$1 = 1 + 2a + b$

$b = -2a$

ステップ2: 頂点の座標を求める

放物線の式を平方完成する。

$y = x^2 + 2ax + b$

$y = (x + a)^2 - a^2 + b$

頂点の座標は $(-a, -a^2 + b)$ である。

ステップ3: 頂点が直線 $y = -x - 4$ 上にある条件

頂点 $(-a, -a^2 + b)$ が直線 $y = -x - 4$ 上にあるので、

$-a^2 + b = -(-a) - 4$

$-a^2 + b = a - 4$

ステップ4: $a$ の値を求める

ステップ1で求めた $b = -2a$ をステップ3の式に代入する。

$-a^2 + (-2a) = a - 4$

$-a^2 - 2a = a - 4$

$a^2 + 3a - 4 = 0$

$(a + 4)(a - 1) = 0$

$a = -4$ または $a = 1$

ステップ5: $b$ の値を求める

$a = -4$ のとき、$b = -2a = -2(-4) = 8$

$a = 1$ のとき、$b = -2a = -2(1) = -2$

3. 最終的な答え

$a = -4, b = 8$ または $a = 1, b = -2$