行列 $A$ について、 $A \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$ を満たす行列 $A$ を求めよ。また、$A = \frac{1}{タ} \begin{pmatrix} チ & ツ \\ * & 4 \end{pmatrix}$ の形で表したときの、タ、チ、ツに入る数字を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A$ について、

$A \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$

を満たす行列 $A$ を求めよ。また、$A = \frac{1}{タ} \begin{pmatrix} チ & ツ \\ * & 4 \end{pmatrix}$ の形で表したときの、タ、チ、ツに入る数字を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形する。

$A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}^{-1}$

次に、$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める。

$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ の行列式は $2 \times 3 - (-1) \times 2 = 6 + 2 = 8$。

よって、$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$

したがって、

$A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$

$A = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 4 \times 3 + 3 \times (-2) & 4 \times 1 + 3 \times 2 \\ -2 \times 3 + 5 \times (-2) & -2 \times 1 + 5 \times 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 12 - 6 & 4 + 6 \\ -6 - 10 & -2 + 10 \end{pmatrix}$

$A = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ -16 & 8 \end{pmatrix}$

よって、$A = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ -16 & 8 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

タ：8

チ：6

ツ：10