与えられた式 $(x-y)^2 (x+y)^2 (x^2 + y^2)^2$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-y)^2 (x+y)^2 (x^2 + y^2)^2$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、$(x-y)^2 (x+y)^2$ の部分を計算します。

$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ であることを利用すると、

$(x-y)^2 (x+y)^2 = [(x-y)(x+y)]^2 = (x^2 - y^2)^2$ となります。

次に、$(x^2 - y^2)^2$ を展開します。

$(x^2 - y^2)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(y^2) + (y^2)^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4$ となります。

最後に、$(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)(x^2 + y^2)^2$ を計算します。

まず、$(x^2 + y^2)^2$ を展開します。

$(x^2 + y^2)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(y^2) + (y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ となります。

したがって、$(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)(x^4 + 2x^2y^2 + y^4)$ を計算します。

これは $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ の形を利用できます。ここで、 $A = x^4 + y^4$ であり、$B = 2x^2y^2$ です。

したがって、

\begin{align*} (x^4 - 2x^2y^2 + y^4)(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) &= [(x^4 + y^4) - 2x^2y^2][(x^4 + y^4) + 2x^2y^2] \\ &= (x^4 + y^4)^2 - (2x^2y^2)^2 \\ &= (x^8 + 2x^4y^4 + y^8) - 4x^4y^4 \\ &= x^8 - 2x^4y^4 + y^8 \end{align*}

これは $(x^4 - y^4)^2$ とも書けます。さらに、$(x^2 - y^2)^2 (x^2+y^2)^2 = ((x-y)(x+y))^2 (x^2+y^2)^2 = (x-y)^2 (x+y)^2 (x^2+y^2)^2 = (x^2 - y^2)^2 (x^2+y^2)^2 = ( (x^2 - y^2)(x^2+y^2))^2 = ( x^4 - y^4 )^2 = x^8 -2x^4y^4 + y^8$.

3. 最終的な答え

$x^8 - 2x^4y^4 + y^8$