3次方程式 $x^3 + px^2 + qx + 20 = 0$ の解の一つが $1-3i$ であるとき、実数 $p$, $q$ の値を求め、また他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + px^2 + qx + 20 = 0$ の解の一つが $1-3i$ であるとき、実数 $p$, $q$ の値を求め、また他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 係数が実数であるため、$1-3i$ が解ならば、共役複素数 $1+3i$ も解である。

(2) もう一つの解を $\alpha$ とすると、解と係数の関係より

3つの解の和は $-(p)$

3つの解の積は $-20$

である。

(3) 解の和の関係から、$p$ を求める。

(4) 解の積の関係から、$\alpha$を求める。

(5) 解の和の積の関係から、$q$を求める。

解と係数の関係より、

$$(1-3i) + (1+3i) + \alpha = -p$$

$$(1-3i)(1+3i) + (1-3i)\alpha + (1+3i)\alpha = q$$

$$(1-3i)(1+3i)\alpha = -20$$

3つ目の式から

$$(1 - (3i)^2) \alpha = -20$$

$$(1 - 9i^2) \alpha = -20$$

$$(1 + 9) \alpha = -20$$

$$10 \alpha = -20$$

$$\alpha = -2$$

したがって、もう一つの解は $-2$ である。

1つ目の式から

$$(1-3i) + (1+3i) + (-2) = -p$$

$$1 - 3i + 1 + 3i - 2 = -p$$

$$0 = -p$$

$$p = 0$$

2つ目の式から

$$(1-3i)(1+3i) + (1-3i)(-2) + (1+3i)(-2) = q$$

$$10 + (-2 + 6i) + (-2 - 6i) = q$$

$$10 - 2 + 6i - 2 - 6i = q$$

$$6 = q$$

したがって、$q = 6$ である。

3. 最終的な答え

$p = 0$

$q = 6$

他の解は $1+3i$ と $-2$