関数 $f(x) = 16 \cdot 9^x - 4 \cdot 3^{x+2} - 3^{-x+2} + 9^{-x}$ が与えられ、$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ とおく。 (1) $t$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。 (2) $f(x)$ を $t$ の式で表せ。 (3) 方程式 $f(x) = k$ の相異なる実数解の個数が3個であるとき、定数 $k$ の値と3つの実数解を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 16 \cdot 9^x - 4 \cdot 3^{x+2} - 3^{-x+2} + 9^{-x}$ が与えられ、$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ とおく。

(1) $t$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

(2) $f(x)$ を $t$ の式で表せ。

(3) 方程式 $f(x) = k$ の相異なる実数解の個数が3個であるとき、定数 $k$ の値と3つの実数解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ に対して、相加平均・相乗平均の関係を利用する。

$3^x > 0$ かつ $3^{-x} > 0$ であるから、$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x} \geq 2 \sqrt{4 \cdot 3^x \cdot 3^{-x}} = 2 \sqrt{4} = 4$ 。

等号成立は $4 \cdot 3^x = 3^{-x}$ のとき、つまり $4 \cdot 3^{2x} = 1$ 、$3^{2x} = \frac{1}{4}$ 、$3^x = \frac{1}{2}$ 、$x = \log_3 \frac{1}{2} = - \log_3 2$ 。

したがって、$t$ の最小値は4であり、そのときの $x$ の値は $x = -\log_3 2$ 。

(2) $f(x) = 16 \cdot 9^x - 4 \cdot 3^{x+2} - 3^{-x+2} + 9^{-x}$ を変形する。

$f(x) = 16 \cdot (3^x)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^{-x} + (3^{-x})^2$

$f(x) = 16 \cdot (3^x)^2 - 36 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^{-x} + (3^{-x})^2$

$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ より、 $t^2 = (4 \cdot 3^x + 3^{-x})^2 = 16 \cdot 9^x + 8 \cdot 3^x \cdot 3^{-x} + 9^{-x} = 16 \cdot 9^x + 8 + 9^{-x}$ 。

したがって、$16 \cdot 9^x + 9^{-x} = t^2 - 8$ 。

$f(x) = (16 \cdot 9^x + 9^{-x}) - 36 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^{-x} = (t^2 - 8) - 9 (4 \cdot 3^x + 3^{-x}) = t^2 - 8 - 9t$ 。

よって、$f(x) = t^2 - 9t - 8$ 。

(3) $f(x) = k$ 、つまり $t^2 - 9t - 8 = k$ となる $t$ の値を求める。

$t^2 - 9t - (8+k) = 0$ を $t$ について解くと、$t = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4(8+k)}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{113+4k}}{2}$ 。

$t$ は $t \geq 4$ を満たす必要がある。

$4 \cdot 3^x + 3^{-x} = t$ が $x$ についての実数解を3つ持つ条件を考える。

$y = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ のグラフを描くと、$t > 4$ ならば $4 \cdot 3^x + 3^{-x} = t$ は2つの実数解を持つ。$t = 4$ ならば1つの実数解を持つ。

$f(x) = k$ の実数解が3つとなるのは、$t = 4$ が重解になる場合で、$t = 4$ が解で、もう一つの解が $t>4$ となる場合。

$t^2 - 9t - 8 = k$ に $t = 4$ を代入すると $16 - 36 - 8 = k$ 、つまり $k = -28$ 。

このとき、$t = \frac{9 \pm \sqrt{113 + 4k}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{113 - 112}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}$ 、つまり $t = 5, 4$ 。

$t = 4$ のとき、$x = - \log_3 2$ 。

$4 \cdot 3^x + 3^{-x} = 5$ のとき、$4 \cdot (3^x)^2 - 5 \cdot 3^x + 1 = 0$ 、$(4 \cdot 3^x - 1) (3^x - 1) = 0$ 。

$3^x = 1/4$ 、$3^x = 1$ より、$x = \log_3 (1/4) = - \log_3 4$、$x = 0$ 。

したがって、$k = -28$ で、$x = - \log_3 4, - \log_3 2, 0$ 。

3. 最終的な答え

(1) $t$ の最小値は4であり、そのときの $x$ の値は $x = -\log_3 2$ 。

(2) $f(x) = t^2 - 9t - 8$ 。

(3) $k = -28$ であり、3つの実数解は $x = - \log_3 4, - \log_3 2, 0$ 。