次の4次方程式を解きます。 (1) $(x^2 - 2)^2 + 7(x^2 - 2) + 6 = 0$ (2) $(x^2 + 1)^2 - 4(x^2 + 1) - 12 = 0$

1. 問題の内容

次の4次方程式を解きます。

(1) $(x^2 - 2)^2 + 7(x^2 - 2) + 6 = 0$

(2) $(x^2 + 1)^2 - 4(x^2 + 1) - 12 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 - 2 = t$ とおくと、与えられた方程式は

$t^2 + 7t + 6 = 0$

$(t + 1)(t + 6) = 0$

したがって、 $t = -1$ または $t = -6$

$t = -1$ のとき、$x^2 - 2 = -1$ より $x^2 = 1$。 よって $x = \pm 1$.

$t = -6$ のとき、$x^2 - 2 = -6$ より $x^2 = -4$。 よって $x = \pm 2i$.

(2)

$x^2 + 1 = t$ とおくと、与えられた方程式は

$t^2 - 4t - 12 = 0$

$(t - 6)(t + 2) = 0$

したがって、$t = 6$ または $t = -2$

$t = 6$ のとき、$x^2 + 1 = 6$ より $x^2 = 5$。 よって $x = \pm \sqrt{5}$.

$t = -2$ のとき、$x^2 + 1 = -2$ より $x^2 = -3$。 よって $x = \pm i\sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, -1, 2i, -2i$

(2) $x = \sqrt{5}, -\sqrt{5}, i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}$