原点を中心とする半径1の円Cと点A(2, 1)がある。円C上にない点PからCに接線を引き、接点をTとする。点PがPT=PAを満たしながら動くとき、以下の問いに答える。 (1) 点Pの軌跡を求めよ。 (2) PAが最小となるPの座標を求めよ。 (3) (2)のときの接点Tの座標を求めよ。

1. 問題の内容

原点を中心とする半径1の円Cと点A(2, 1)がある。円C上にない点PからCに接線を引き、接点をTとする。点PがPT=PAを満たしながら動くとき、以下の問いに答える。

(1) 点Pの軌跡を求めよ。

(2) PAが最小となるPの座標を求めよ。

(3) (2)のときの接点Tの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を(x, y)とする。PT = PAより$PT^2 = PA^2$。

円Cの方程式は$x^2 + y^2 = 1$。

$PT^2 = OP^2 - OT^2 = x^2 + y^2 - 1$

$PA^2 = (x-2)^2 + (y-1)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5$

$PT^2 = PA^2$より、$x^2 + y^2 - 1 = x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5$

$-1 = -4x - 2y + 5$

$4x + 2y = 6$

$2x + y = 3$

したがって、点Pの軌跡は直線$y = -2x + 3$である。

(2) PAが最小となるのは、点A(2, 1)から直線$y = -2x + 3$に下ろした垂線の足が点Pのときである。

直線$y = -2x + 3$の傾きは-2なので、点A(2, 1)を通り、$y = -2x + 3$に垂直な直線の傾きは$\frac{1}{2}$である。

この直線の方程式は、$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 2)$

$y = \frac{1}{2}x - 1 + 1 = \frac{1}{2}x$

この直線と$y = -2x + 3$の交点を求める。

$\frac{1}{2}x = -2x + 3$

$x = -4x + 6$

$5x = 6$

$x = \frac{6}{5}$

$y = \frac{1}{2} \times \frac{6}{5} = \frac{3}{5}$

したがって、PAが最小となるPの座標は$(\frac{6}{5}, \frac{3}{5})$である。

(3) 点P$(\frac{6}{5}, \frac{3}{5})$と円Cの中心O(0, 0)を結ぶ直線と、接線PTは直交する。したがって、接点Tは、線分OPを、点PからOの方向に延長した直線と円Cの交点にある。

直線OPの方程式は$y = \frac{1}{2}x$。

点Tは円C上の点なので、$x^2 + y^2 = 1$を満たす。

$x^2 + (\frac{1}{2}x)^2 = 1$

$x^2 + \frac{1}{4}x^2 = 1$

$\frac{5}{4}x^2 = 1$

$x^2 = \frac{4}{5}$

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$y = \frac{1}{2}x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

点Pから点Oの方向に延長した直線と円Cの交点がTであるから、PとTは原点に関して反対側にある。

したがって、Tのx座標とy座標はそれぞれPのx座標とy座標と符号が異なる。

Pの座標は$(\frac{6}{5}, \frac{3}{5})$なので、Tの座標は$(-\frac{2\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5})$となる。

3. 最終的な答え

(1) 点Pの軌跡: $y = -2x + 3$

(2) PAが最小となるPの座標: $(\frac{6}{5}, \frac{3}{5})$

(3) (2)のときの接点Tの座標: $(-\frac{2\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5})$