$a, b$ を整数の定数とし、$x$ の整式 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 12$ について考える。$P(x)$ を因数分解した式として考えられるものを、次の (1)~(6) からすべて選びなさい。また、選んだ根拠を述べよ。 (1) $(x-2)(x-1)(x+5)$ (2) $(x-2)(x-1)(x+6)$ (3) $(x+3)(x-2)^2$ (4) $(2x+3)(x-2)^2$ (5) $(x-1)(x^2+7x-12)$ (6) $(x-3)(x^2-3x+4)$

1. 問題の内容

$a, b$ を整数の定数とし、$x$ の整式 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 12$ について考える。$P(x)$ を因数分解した式として考えられるものを、次の (1)~(6) からすべて選びなさい。また、選んだ根拠を述べよ。

(1) $(x-2)(x-1)(x+5)$

(2) $(x-2)(x-1)(x+6)$

(3) $(x+3)(x-2)^2$

(4) $(2x+3)(x-2)^2$

(5) $(x-1)(x^2+7x-12)$

(6) $(x-3)(x^2-3x+4)$

2. 解き方の手順

因数定理より、$P(x)$ が整数係数の因数を持つならば、その因数の定数項は12の約数である必要がある。

(1) $(x-2)(x-1)(x+5) = (x^2-3x+2)(x+5) = x^3 + 5x^2 - 3x^2 - 15x + 2x + 10 = x^3 + 2x^2 - 13x + 10$. 定数項が10なので不適。

(2) $(x-2)(x-1)(x+6) = (x^2-3x+2)(x+6) = x^3 + 6x^2 - 3x^2 - 18x + 2x + 12 = x^3 + 3x^2 - 16x + 12$. 定数項が12なので、候補。

(3) $(x+3)(x-2)^2 = (x+3)(x^2-4x+4) = x^3 - 4x^2 + 4x + 3x^2 - 12x + 12 = x^3 - x^2 - 8x + 12$. 定数項が12なので、候補。

(4) $(2x+3)(x-2)^2 = (2x+3)(x^2-4x+4) = 2x^3 - 8x^2 + 8x + 3x^2 - 12x + 12 = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 12$. $x^3$ の係数が1でないので不適。

(5) $(x-1)(x^2+7x-12) = x^3 + 7x^2 - 12x - x^2 - 7x + 12 = x^3 + 6x^2 - 19x + 12$. 定数項が12なので、候補。

(6) $(x-3)(x^2-3x+4) = x^3 - 3x^2 + 4x - 3x^2 + 9x - 12 = x^3 - 6x^2 + 13x - 12$. 定数項が-12なので不適。

したがって、(2), (3), (5) が候補である。

3. 最終的な答え

(2), (3), (5)