正七角形について、以下の数を求める問題です。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 対角線の本数

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

正七角形について、以下の数を求める問題です。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 三角形の個数

7個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数を求めます。組み合わせの公式は $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

この場合、$n=7$, $r=3$ なので、

$7C3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 個。

(2) 四角形の個数

7個の頂点から4個を選ぶ組み合わせの数を求めます。

この場合、$n=7$, $r=4$ なので、

$7C4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 個。

(3) 対角線の本数

正$n$角形の対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ で求められます。

この場合、$n=7$ なので、

$\frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14$ 本。

3. 最終的な答え

(1) 三角形の個数：35個

(2) 四角形の個数：35個

(3) 対角線の本数：14本