次の方程式を解きます。 (1) $(x^2+x-1)(x^2+x-3) = 8$ (2) $x(x+1)(x-2)(x+3) = -9$

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

(1) $(x^2+x-1)(x^2+x-3) = 8$

(2) $x(x+1)(x-2)(x+3) = -9$

2. 解き方の手順

(1) $(x^2+x-1)(x^2+x-3) = 8$

$x^2 + x = t$ とおくと、方程式は $(t-1)(t-3) = 8$ となります。

これを展開すると、

$t^2 - 4t + 3 = 8$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

$(t-5)(t+1) = 0$

よって、$t=5$ または $t=-1$ となります。

(i) $t=5$ のとき、$x^2+x = 5$ より、

$x^2+x-5 = 0$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$

(ii) $t=-1$ のとき、$x^2+x = -1$ より、

$x^2+x+1 = 0$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x(x+1)(x-2)(x+3) = -9$

$x(x+3)(x+1)(x-2) = -9$

$(x^2+3x)(x^2-x-2) = -9$

$(x^2+3x)(x^2-x-2)=-9$

$(x^2+3x)(x^2+3x -4x-2)=-9$

ここで、 $x^2 + x - 2 = u$ とおくと、

$(x^2 + 3x)(x^2+x-2+2x)= -9$

$x(x+3)(x+1)(x-2)=-9$

$(x^2+3x)(x^2-x-2)=-9$

$(x^2+3x)(x^2+3x-4x-2)=-9$

$(x^2+3x)^2 - 4x(x^2+3x)-2(x^2+3x)=-9$

$x^2+3x = t$とおくと

$x(x+3)(x+1)(x-2)=x(x+3)(x^2-x-2) = (x^2+3x)(x^2-x-2)=-9$

$x(x+3)(x+1)(x-2) = -9$ より

$x(x+3)(x+1)(x-2) = (x^2+3x)(x^2-x-2) = -9$

$(x^2+3x)(x^2-x-2)+9 = 0$

$x(x+3)(x+1)(x-2)+9 = (x^2+3x)(x^2-x-2)+9 = 0$

$x(x+1)(x-2)(x+3)+9 = x(x-2)(x+1)(x+3)+9 = (x^2-2x)(x^2+4x+3)+9 = x^4+4x^3+3x^2-2x^3-8x^2-6x+9 = x^4+2x^3-5x^2-6x+9 = 0$

$x(x+1)(x-2)(x+3)+9 = (x^2+x)(x^2+x-6)+9$

$x^2+x = t$ とおくと、

$t(t-6)+9=0$

$t^2 - 6t+9=0$

$(t-3)^2=0$

$t=3$

$x^2+x=3$

$x^2+x-3=0$

$x = \frac{-1\pm\sqrt{1-4(1)(-3)}}{2} = \frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}, \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$