$x = 1 + 3i$ のとき、以下の2つの問いに答える。 (1) $x^2 - 2x + 10 = 0$ となることを示す。 (2) (1)の結果を利用して、$x^3 - 3x^2 + 11x - 6$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x = 1 + 3i$ のとき、以下の2つの問いに答える。

(1) $x^2 - 2x + 10 = 0$ となることを示す。

(2) (1)の結果を利用して、$x^3 - 3x^2 + 11x - 6$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x = 1 + 3i$ を $x^2 - 2x + 10$ に代入し、計算結果が0になることを示す。

$x^2 = (1 + 3i)^2 = 1 + 6i - 9 = -8 + 6i$

$x^2 - 2x + 10 = (-8 + 6i) - 2(1 + 3i) + 10 = -8 + 6i - 2 - 6i + 10 = 0$

したがって、$x^2 - 2x + 10 = 0$ が示された。

(2)

$x^3 - 3x^2 + 11x - 6$ を $x^2 - 2x + 10$ で割ることを考える。

$x^3 - 3x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 2x + 10) + 4$

(1) より、$x^2 - 2x + 10 = 0$ であるから、

$x^3 - 3x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(0) + 4 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 2x + 10 = 0$

(2) 4