(1) $x = 1 + 3i$ のとき、$x^2 - 2x + 10 = 0$ となることを示す。 (2) (1)の結果を利用して、$x^3 - 3x^2 + 11x - 6$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x = 1 + 3i$ のとき、$x^2 - 2x + 10 = 0$ となることを示す。

(2) (1)の結果を利用して、$x^3 - 3x^2 + 11x - 6$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x = 1 + 3i$ を $x^2 - 2x + 10$ に代入し、計算結果が0になることを示す。

$x^2 - 2x + 10 = (1+3i)^2 - 2(1+3i) + 10$

$= (1 + 6i - 9) - 2 - 6i + 10$

$= 1 + 6i - 9 - 2 - 6i + 10$

$= (1 - 9 - 2 + 10) + (6i - 6i)$

$= 0 + 0i$

$= 0$

よって、$x = 1 + 3i$ のとき、$x^2 - 2x + 10 = 0$ が成り立つ。

(2) $x^3 - 3x^2 + 11x - 6$ を $x^2 - 2x + 10$ で割ることを考える。

$x^3 - 3x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2-2x+10) + 4$

(筆算または組み立て除法で)

$x^3 - 3x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2 - 2x + 10) + 4$

$x = 1 + 3i$ のとき、$x^2 - 2x + 10 = 0$ であるから、

$x^3 - 3x^2 + 11x - 6 = (x-1) \cdot 0 + 4 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1 + 3i$ のとき、$x^2 - 2x + 10 = 0$ が成り立つ。

(2) $x^3 - 3x^2 + 11x - 6 = 4$