底面積が 27 $cm^2$ の直方体がある。この直方体の高さは、同じ体積を持つ立方体の辺の長さよりも 2 cm 大きい。このとき、直方体の高さを求める。

1. 問題の内容

底面積が 27 $cm^2$ の直方体がある。この直方体の高さは、同じ体積を持つ立方体の辺の長さよりも 2 cm 大きい。このとき、直方体の高さを求める。

2. 解き方の手順

まず、立方体の辺の長さを $x$ cm とおく。すると、立方体の体積は $x^3 cm^3$ となる。

直方体の高さは $x + 2$ cm であり、底面積が 27 $cm^2$ であるから、直方体の体積は $27(x+2) cm^3$ と表せる。

直方体と立方体の体積が等しいので、次の式が成り立つ。

$x^3 = 27(x+2)$

これを展開すると、

$x^3 = 27x + 54$

$x^3 - 27x - 54 = 0$

この3次方程式を解く。

$x = 6$ を代入すると、$6^3 - 27*6 - 54 = 216 - 162 - 54 = 0$

となるので、$x = 6$ は解である。

よって、$x^3 - 27x - 54$ は $(x-6)$ で割り切れる。実際に割り算を行うと、

$x^3 - 27x - 54 = (x-6)(x^2 + 6x + 9) = (x-6)(x+3)^2 = 0$

したがって、$x = 6, -3$ となる。

$x$ は立方体の辺の長さなので、$x > 0$ である。

よって、$x = 6$。

直方体の高さは $x + 2$ cm なので、$6 + 2 = 8$ cm である。

3. 最終的な答え

8 cm