極方程式を直交座標の方程式で表す問題です。以下の4つの極方程式を、それぞれ直交座標の方程式に変換します。 (1) $r = -5\sin{\theta}$ (2) $r\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) = 2$ (3) $4r\cos^2{\theta} = \sin{\theta}$ (4) $r^2(3 - 2\cos^2{\theta}) = 3$

1. 問題の内容

極方程式を直交座標の方程式で表す問題です。以下の4つの極方程式を、それぞれ直交座標の方程式に変換します。

(1) $r = -5\sin{\theta}$

(2) $r\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) = 2$

(3) $4r\cos^2{\theta} = \sin{\theta}$

(4) $r^2(3 - 2\cos^2{\theta}) = 3$

2. 解き方の手順

(1) $r = -5\sin{\theta}$

両辺に $r$ をかけます。

$r^2 = -5r\sin{\theta}$

直交座標との関係 $r^2 = x^2 + y^2$ と $y = r\sin{\theta}$ を代入します。

$x^2 + y^2 = -5y$

$x^2 + y^2 + 5y = 0$

$x^2 + (y + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = 0$

$x^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$

(2) $r\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) = 2$

三角関数の加法定理を利用して展開します。

$r(\sin{\theta}\cos{\frac{2}{3}\pi} + \cos{\theta}\sin{\frac{2}{3}\pi}) = 2$

$r(\sin{\theta} \cdot (-\frac{1}{2}) + \cos{\theta} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2$

$-\frac{1}{2}r\sin{\theta} + \frac{\sqrt{3}}{2}r\cos{\theta} = 2$

直交座標との関係 $x = r\cos{\theta}$ と $y = r\sin{\theta}$ を代入します。

$-\frac{1}{2}y + \frac{\sqrt{3}}{2}x = 2$

$-y + \sqrt{3}x = 4$

$\sqrt{3}x - y = 4$

$y = \sqrt{3}x - 4$

(3) $4r\cos^2{\theta} = \sin{\theta}$

両辺に $r^2$ をかけます。

$4r^3\cos^2{\theta} = r^2\sin{\theta}$

$4(r\cos{\theta})^2r = r^2\sin{\theta}$

直交座標との関係 $x = r\cos{\theta}$ と $y = r\sin{\theta}$、$r^2 = x^2+y^2$を代入します。

$4x^2 \sqrt{x^2+y^2} = (x^2+y^2)y/\sqrt{x^2+y^2}$

より

$4x^2 \sqrt{x^2+y^2} = y(x^2+y^2)$

$4x^2r = y r^2$

$4x^2r=yr^2$

$r = \sqrt{x^2+y^2}$を代入

$4x^2 = y\sqrt{x^2+y^2}$

両辺を2乗します

$16x^4 = y^2(x^2+y^2)$

$16x^4 = x^2y^2+y^4$

(4) $r^2(3 - 2\cos^2{\theta}) = 3$

$3r^2 - 2r^2\cos^2{\theta} = 3$

直交座標との関係 $x = r\cos{\theta}$ と $r^2 = x^2 + y^2$を代入します。

$3(x^2 + y^2) - 2x^2 = 3$

$3x^2 + 3y^2 - 2x^2 = 3$

$x^2 + 3y^2 = 3$

$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$

(2) $y = \sqrt{3}x - 4$

(3) $16x^4 = x^2y^2 + y^4$

(4) $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$