次の2つの曲線について、概形を描き、放物線なら頂点、楕円なら中心、双曲線なら漸近線を求め、さらに焦点を求める問題です。 (1) $x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 4 = 0$ (2) $x^2 - y^2 + 4x + 6y - 6 = 0$

1. 問題の内容

次の2つの曲線について、概形を描き、放物線なら頂点、楕円なら中心、双曲線なら漸近線を求め、さらに焦点を求める問題です。

(1) $x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 4 = 0$

(2) $x^2 - y^2 + 4x + 6y - 6 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 4 = 0$ の場合

まず、式を平方完成させます。

$x^2 - 4x + 4 + 4(y^2 + 2y + 1) - 4 = 0$

$(x - 2)^2 + 4(y + 1)^2 = 4$

$\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y + 1)^2}{1} = 1$

これは楕円の方程式です。中心は $(2, -1)$ です。

$a^2 = 4$, $b^2 = 1$ なので、$a = 2$, $b = 1$ です。

$c^2 = a^2 - b^2 = 4 - 1 = 3$ なので、$c = \sqrt{3}$ です。

焦点は $(2 \pm \sqrt{3}, -1)$ です。

(2) $x^2 - y^2 + 4x + 6y - 6 = 0$ の場合

まず、式を平方完成させます。

$x^2 + 4x + 4 - (y^2 - 6y + 9) - 6 - 4 + 9 = 0$

$(x + 2)^2 - (y - 3)^2 = 1$

これは双曲線の方程式です。中心は $(-2, 3)$ です。

$a^2 = 1$, $b^2 = 1$ なので、$a = 1$, $b = 1$ です。

漸近線は $y - 3 = \pm (x + 2)$ です。

$y = x + 5$ と $y = -x + 1$ が漸近線になります。

$c^2 = a^2 + b^2 = 1 + 1 = 2$ なので、$c = \sqrt{2}$ です。

焦点は $(-2 \pm \sqrt{2}, 3)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 楕円: 中心 $(2, -1)$、焦点 $(2 \pm \sqrt{3}, -1)$

(2) 双曲線: 中心 $(-2, 3)$、漸近線 $y = x + 5$ と $y = -x + 1$、焦点 $(-2 \pm \sqrt{2}, 3)$