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座標平面上に点A(0, 5)と、中心(0, 2)で半径2の円Cがある。円C上の点Pに対し、線分APを1:2に外分する点Qの軌跡が直線 $y = 2x + 6$ を切り取る線分の長さを求める。

幾何学軌跡円外分線分の長さ
2025/6/15

1. 問題の内容

座標平面上に点A(0, 5)と、中心(0, 2)で半径2の円Cがある。円C上の点Pに対し、線分APを1:2に外分する点Qの軌跡が直線 y=2x+6y = 2x + 6 を切り取る線分の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を (x,y)(x, y) とする。点Pは円C上にあるので、
x2+(y−2)2=4x^2 + (y - 2)^2 = 4
(2) 点Qの座標を (X,Y)(X, Y) とする。点Qは線分APを1:2に外分するので、
AQ⃗=−AP⃗+2OQ⃗=3AP⃗\vec{AQ} = - \vec{AP} + 2 \vec{OQ} = 3 \vec{AP}
OP⃗=(x,y)\vec{OP} = (x, y)
OA⃗=(0,5)\vec{OA} = (0, 5)
AP⃗=(x,y−5)\vec{AP} = (x, y-5)
OQ⃗=(X,Y)\vec{OQ} = (X, Y)
(X,Y)=(1−2)(0,5)+2(x,y)=(0,−5)+2(x,y)=(2x,2y−5)(X, Y) = (1-2)(0, 5) + 2(x, y) = (0, -5) + 2(x, y) = (2x, 2y-5)
AQ⃗=OQ⃗−OA⃗=(X,Y)−(0,5)=(X,Y−5)\vec{AQ} = \vec{OQ} - \vec{OA} = (X, Y) - (0, 5) = (X, Y-5)
AP⃗=(x,y−5)\vec{AP} = (x, y-5)
AQ⃗=−AP⃗+2AP⃗=3AQ⃗\vec{AQ} = - \vec{AP} + 2 \vec{AP} = 3 \vec{AQ}
OQ⃗=−AO⃗+2OP⃗=3AP⃗=2(x,y)+(0,5) \vec{OQ} = - \vec{AO} + 2 \vec{OP} = 3 \vec{AP} = 2 (x, y) + (0,5)
X=−xX = -x
x=−Xx = -X
Y=−y+5Y = -y +5
Y=3y Y = 3y
y−5=−x−1−2−1+yy - 5 = \frac{-x-1 -2 } -1 + y
X=2x−01−2=−2x X = \frac{2x - 0}{1-2} = -2x
Y=2y−1∗51−2=−2y+5 Y = \frac{2y - 1*5}{1-2} = -2y+5
よって、
x=−X2x = -\frac{X}{2}
y=5−Y2y = \frac{5-Y}{2}
(3) (1)に(2)を代入して点Qの軌跡を求める。
(−X2)2+(5−Y2−2)2=4(-\frac{X}{2})^2 + (\frac{5-Y}{2} - 2)^2 = 4
X24+(1−Y2)2=4\frac{X^2}{4} + (\frac{1-Y}{2})^2 = 4
X2+(1−Y)2=16X^2 + (1-Y)^2 = 16
X2+(Y−1)2=16X^2 + (Y-1)^2 = 16
これは、中心(0, 1)、半径4の円である。
(4) 円 X2+(Y−1)2=16X^2 + (Y-1)^2 = 16 と直線 Y=2X+6Y = 2X + 6 の交点を求める。
X2+(2X+6−1)2=16X^2 + (2X + 6 - 1)^2 = 16
X2+(2X+5)2=16X^2 + (2X + 5)^2 = 16
X2+4X2+20X+25=16X^2 + 4X^2 + 20X + 25 = 16
5X2+20X+9=05X^2 + 20X + 9 = 0
X=−20±400−18010=−20±22010=−20±25510=−10±555X = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 180}}{10} = \frac{-20 \pm \sqrt{220}}{10} = \frac{-20 \pm 2\sqrt{55}}{10} = \frac{-10 \pm \sqrt{55}}{5}
X1=−10+555,X2=−10−555X_1 = \frac{-10 + \sqrt{55}}{5}, X_2 = \frac{-10 - \sqrt{55}}{5}
Y1=2X1+6=−20+2555+305=10+2555Y_1 = 2X_1 + 6 = \frac{-20 + 2\sqrt{55}}{5} + \frac{30}{5} = \frac{10 + 2\sqrt{55}}{5}
Y2=2X2+6=−20−2555+305=10−2555Y_2 = 2X_2 + 6 = \frac{-20 - 2\sqrt{55}}{5} + \frac{30}{5} = \frac{10 - 2\sqrt{55}}{5}
2つの交点の座標は (−10+555,10+2555)(\frac{-10 + \sqrt{55}}{5}, \frac{10 + 2\sqrt{55}}{5})と (−10−555,10−2555)(\frac{-10 - \sqrt{55}}{5}, \frac{10 - 2\sqrt{55}}{5})
(5) 求める線分の長さは、
(X1−X2)2+(Y1−Y2)2=(2555)2+(4555)2=4⋅5525+16⋅5525=20⋅5525=4⋅555=4⋅11=211\sqrt{(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2} = \sqrt{(\frac{2\sqrt{55}}{5})^2 + (\frac{4\sqrt{55}}{5})^2} = \sqrt{\frac{4 \cdot 55}{25} + \frac{16 \cdot 55}{25}} = \sqrt{\frac{20 \cdot 55}{25}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 55}{5}} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}

3. 最終的な答え

2112\sqrt{11}

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