点Oを中心とする半径6の円があり、ABはその直径である。円周上の点Cにおける接線と、直線ABの交点をDとする。BD = 4のとき、AC : CBを求めよ。

1. 問題の内容

点Oを中心とする半径6の円があり、ABはその直径である。円周上の点Cにおける接線と、直線ABの交点をDとする。BD = 4のとき、AC : CBを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた情報を整理します。

- 円の半径は6なので、直径ABの長さは12です。

- BDの長さは4です。

- CDは点Cにおける円の接線です。

円の接線の性質より、OCとCDは直交します。つまり、三角形OCDは直角三角形です。

また、角ACBは直径に対する円周角なので、90度です。したがって、三角形ACBは直角三角形です。

三角形OCDにおいて、OD = OB + BD = 6 + 4 = 10です。

OC = 6なので、三平方の定理より、

$CD^2 + OC^2 = OD^2$

$CD^2 + 6^2 = 10^2$

$CD^2 = 100 - 36 = 64$

$CD = 8$

次に、三角形ACDと三角形CBDに注目します。

角ACD = 角CBD = θとします。

なぜなら、接弦定理より、角ACD = 角ABCです。また、角CBD = 角ABCなので、角ACD = 角CBDです。

三角形ACDと三角形BCDにおいて、角Dは共通なので、この二つの三角形は相似です。

したがって、

$AC : CD = CD : BD$

$AC : 8 = 8 : 4$

$AC = \frac{8 \times 8}{4} = 16$

直角三角形ABCにおいて、三平方の定理より、

$AC^2 + CB^2 = AB^2$

$16^2 + CB^2 = 12^2$

$256 + CB^2 = 144$

これは矛盾するので、接弦定理で角度の設定が誤っていたようです。

角ACD = θとおくと、角ABC = θです。

三角形ACDと三角形BCDは相似なので

$AC/CD = CD/BD$

$AC/8 = 8/4$

$AC = 16$

直角三角形ABCにおいて、

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

$16^2 + BC^2 = 12^2$

$256 + BC^2 = 144$

今一度確認します。

ACDとBCDは相似である。

$AC : CD = BC : BD$

$AC/8 = BC/4$

$AC = 2BC$

$4BC^2 + BC^2 = 144$

$5BC^2 = 144$

$BC^2 = 144/5$

$BC = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$

$AC = \frac{24\sqrt{5}}{5}$

$AC : BC = \frac{24\sqrt{5}}{5} : \frac{12\sqrt{5}}{5} = 24 : 12 = 2 : 1$

3. 最終的な答え

AC : CB = 2 : 1