$AB=5$, $AC=12$, $BC=13$の直角三角形$ABC$において、頂点$A$から底辺$BC$に下ろした垂線の足を$H$とする。このとき、$AH$と$BH$の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

$AB=5$, $AC=12$, $BC=13$の直角三角形$ABC$において、頂点$A$から底辺$BC$に下ろした垂線の足を$H$とする。このとき、$AH$と$BH$の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形$ABC$の面積を2通りの方法で求めます。

* 1つ目は、底辺を$AB$, 高さを$AC$と見て、面積を計算します。

$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$

* 2つ目は、底辺を$BC$, 高さを$AH$と見て、面積を計算します。

$S = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 13 \times AH$

したがって、

$\frac{1}{2} \times 13 \times AH = 30$

$AH = \frac{60}{13}$

次に、$BH$を求めます。三角形$ABH$は直角三角形なので、三平方の定理が使えます。

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$5^2 = (\frac{60}{13})^2 + BH^2$

$25 = \frac{3600}{169} + BH^2$

$BH^2 = 25 - \frac{3600}{169} = \frac{25 \times 169 - 3600}{169} = \frac{4225 - 3600}{169} = \frac{625}{169}$

$BH = \sqrt{\frac{625}{169}} = \frac{25}{13}$

3. 最終的な答え

$AH = \frac{60}{13}$

$BH = \frac{25}{13}$