関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($1 \le x \le 5$) について、最大値が7、最小値が-2であるとき、定数 $a, b$ の値を、$a > 0$ の場合と $a < 0$ の場合にそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($1 \le x \le 5$) について、最大値が7、最小値が-2であるとき、定数 $a, b$ の値を、$a > 0$ の場合と $a < 0$ の場合にそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = a(x^2 - 4x) + b = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + b = a(x-2)^2 - 4a + b$

(1) $a > 0$ の場合：

$a > 0$ なので、グラフは下に凸の放物線になります。

定義域 $1 \le x \le 5$ における軸は $x = 2$ です。

軸は定義域に含まれているため、頂点で最小値をとります。

最小値は $x = 2$ のときで、$-4a + b = -2$ です。

最大値は、軸から遠い方の端点でとります。今回は $x = 5$ が軸から遠いので、$x = 5$ で最大値7をとります。

$a(5-2)^2 - 4a + b = 9a - 4a + b = 5a + b = 7$

連立方程式

$-4a + b = -2$

$5a + b = 7$

を解きます。2式を引き算すると

$9a = 9$

$a = 1$

これを $-4a + b = -2$ に代入すると

$-4(1) + b = -2$

$b = 2$

(2) $a < 0$ の場合：

$a < 0$ なので、グラフは上に凸の放物線になります。

定義域 $1 \le x \le 5$ における軸は $x = 2$ です。

軸は定義域に含まれているため、頂点で最大値をとります。

最大値は $x = 2$ のときで、$-4a + b = 7$ です。

最小値は、軸から遠い方の端点でとります。今回は $x = 5$ が軸から遠いので、$x = 5$ で最小値-2をとります。

$a(5-2)^2 - 4a + b = 9a - 4a + b = 5a + b = -2$

連立方程式

$-4a + b = 7$

$5a + b = -2$

を解きます。2式を引き算すると

$-9a = 9$

$a = -1$

これを $-4a + b = 7$ に代入すると

$-4(-1) + b = 7$

$4 + b = 7$

$b = 3$

3. 最終的な答え

(1) $a > 0$ の場合：$a = 1$, $b = 2$

(2) $a < 0$ の場合：$a = -1$, $b = 3$