与えられた2つの数の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ (2) $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの数の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$

(2) $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母が $\sqrt{3} + 1$ なので、分母分子に $\sqrt{3} - 1$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$

$= \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1}$

$= \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2}$

$= \sqrt{3} - 1$

(2) 分母が $\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$ なので、$(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \sqrt{2}$ をかけて有理化します。

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})}$

$= \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})^2}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 + 2\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 2$

$= 5 + 2\sqrt{15} + 3 + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6} + 2$

$= 10 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6}$

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 - 2$

$= 6 + 2\sqrt{15}$

$\frac{10 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6}}{6 + 2\sqrt{15}} = \frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{15}}$

さらに、$3 - \sqrt{15}$ を分母分子にかけます。

$\frac{(5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6})(3 - \sqrt{15})}{(3 + \sqrt{15})(3 - \sqrt{15})} = \frac{15 - 5\sqrt{15} + 3\sqrt{15} - 15 + 3\sqrt{10} - \sqrt{150} + 3\sqrt{6} - \sqrt{90}}{9 - 15}$

$= \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{10} - 5\sqrt{6} + 3\sqrt{6} - 3\sqrt{10}}{-6}$

$= \frac{-2\sqrt{15} - 2\sqrt{6}}{-6} = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} - 1$

(2) $\frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{3}$