整式 $A$ を $3x^2 + 2x - 5$ で割ると、商が $8x + 3$ で、余りが $2x + 1$ である。このとき、$A$ を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $A$ を $3x^2 + 2x - 5$ で割ると、商が $8x + 3$ で、余りが $2x + 1$ である。このとき、$A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

割られる数 $A$ は、割る数、商、余りの関係から次のように表すことができます。

$A = (3x^2 + 2x - 5)(8x + 3) + (2x + 1)$

まず、$(3x^2 + 2x - 5)(8x + 3)$ を展開します。

\begin{align*}

(3x^2 + 2x - 5)(8x + 3) &= 3x^2(8x + 3) + 2x(8x + 3) - 5(8x + 3) \\

&= 24x^3 + 9x^2 + 16x^2 + 6x - 40x - 15 \\

&= 24x^3 + (9 + 16)x^2 + (6 - 40)x - 15 \\

&= 24x^3 + 25x^2 - 34x - 15

\end{align*}

したがって、

$A = (24x^3 + 25x^2 - 34x - 15) + (2x + 1)$

$A = 24x^3 + 25x^2 - 34x - 15 + 2x + 1$

$A = 24x^3 + 25x^2 + (-34 + 2)x + (-15 + 1)$

$A = 24x^3 + 25x^2 - 32x - 14$

3. 最終的な答え

$A = 24x^3 + 25x^2 - 32x - 14$