多項式 $A$ を $3x^2 - x - 4$ で割ったとき、商が $2x^2 + 3x - 1$ で、余りが $2x - 1$ である。多項式 $A$ を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $A$ を $3x^2 - x - 4$ で割ったとき、商が $2x^2 + 3x - 1$ で、余りが $2x - 1$ である。多項式 $A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

割られる数 $A$、割る数 $B$、商 $Q$、余り $R$ の関係は、

$A = BQ + R$ で表されます。

この問題では、$B = 3x^2 - x - 4$、$Q = 2x^2 + 3x - 1$、$R = 2x - 1$ ですので、これらの値を上記の式に代入して $A$ を計算します。

まず、$B$ と $Q$ の積を計算します。

$(3x^2 - x - 4)(2x^2 + 3x - 1) = 3x^2(2x^2 + 3x - 1) - x(2x^2 + 3x - 1) - 4(2x^2 + 3x - 1)$

$= 6x^4 + 9x^3 - 3x^2 - 2x^3 - 3x^2 + x - 8x^2 - 12x + 4$

$= 6x^4 + (9-2)x^3 + (-3-3-8)x^2 + (1-12)x + 4$

$= 6x^4 + 7x^3 - 14x^2 - 11x + 4$

次に、この結果に余り $2x - 1$ を加えます。

$A = (6x^4 + 7x^3 - 14x^2 - 11x + 4) + (2x - 1)$

$= 6x^4 + 7x^3 - 14x^2 + (-11+2)x + (4-1)$

$= 6x^4 + 7x^3 - 14x^2 - 9x + 3$

3. 最終的な答え

$A = 6x^4 + 7x^3 - 14x^2 - 9x + 3$