実数全体の集合$X$の部分集合$A = \{x | x \ge 0\}$ と $B = \{x | -1 \le x \le 1\}$ について、以下の集合を求めます。 * $A \cup B$ * $\overline{A} \cap B$ * $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

実数全体の集合$X$の部分集合$A = \{x | x \ge 0\}$ と $B = \{x | -1 \le x \le 1\}$ について、以下の集合を求めます。

* $A \cup B$

* $\overline{A} \cap B$

* $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、$A$と$B$を数直線で考えるとわかりやすいです。

* $A \cup B$: $A$と$B$の和集合なので、$x \ge 0$ の範囲と $-1 \le x \le 1$ の範囲を合わせたものになります。

* $\overline{A} \cap B$: $\overline{A}$は$A$の補集合なので、$x < 0$ です。これと$B$の共通部分を求めます。

* $A \cap \overline{B}$: $\overline{B}$は$B$の補集合なので、$x < -1$ または $x > 1$ です。これと$A$の共通部分を求めます。

(1) $A \cup B$ について

$A = \{x | x \ge 0\}$と$B = \{x | -1 \le x \le 1\}$の和集合は、$x \ge -1$となります。

したがって、$A \cup B = \{x | x \ge -1\}$

(2) $\overline{A} \cap B$ について

$\overline{A} = \{x | x < 0\}$

$B = \{x | -1 \le x \le 1\}$

したがって、$\overline{A} \cap B = \{x | -1 \le x < 0\}$

(3) $A \cap \overline{B}$ について

$A = \{x | x \ge 0\}$

$\overline{B} = \{x | x < -1 \text{ または } x > 1\}$

したがって、$A \cap \overline{B} = \{x | x > 1\}$

3. 最終的な答え

* $A \cup B = \{x | x \ge -1\}$

* $\overline{A} \cap B = \{x | -1 \le x < 0\}$

* $A \cap \overline{B} = \{x | x > 1\}$