二重根号を外して、$\sqrt{86-18\sqrt{5}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

二重根号を外して、$\sqrt{86-18\sqrt{5}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すには、$\sqrt{a-b\sqrt{c}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$ の形に変形することを考えます。

このとき、$a = x+y$ かつ $b\sqrt{c} = 2\sqrt{xy}$ となるような $x$ と $y$ を見つけます。

まず、$\sqrt{86-18\sqrt{5}}$ を $\sqrt{86-2\sqrt{405}}$ と変形します。

すると、$a = 86$ であり、$2\sqrt{xy} = 18\sqrt{5} = 2\sqrt{81 \times 5} = 2\sqrt{405}$ であることから、$xy = 405$ となります。

$x+y = 86$ かつ $xy = 405$ を満たす $x$ と $y$ を探します。

$x$ と $y$ は、$t^2 - 86t + 405 = 0$ の解となります。

この二次方程式を解くと、$t = \frac{86 \pm \sqrt{86^2 - 4 \times 405}}{2} = \frac{86 \pm \sqrt{7396 - 1620}}{2} = \frac{86 \pm \sqrt{5776}}{2} = \frac{86 \pm 76}{2}$ となります。

したがって、$x$ と $y$ は、$t = \frac{86+76}{2} = \frac{162}{2} = 81$ と $t = \frac{86-76}{2} = \frac{10}{2} = 5$ となります。

よって、$x = 81$ と $y = 5$ とおくと、

$\sqrt{86 - 18\sqrt{5}} = \sqrt{81} - \sqrt{5} = 9 - \sqrt{5}$ となります。

3. 最終的な答え

$9 - \sqrt{5}$