2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$)とする。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求める。 (2) $a^2 + b^2$, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求める。 (3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{|b|}{|a|}$ を解く。また、不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{|b|}{|a|}$ と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$)とする。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求める。

(2) $a^2 + b^2$, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求める。

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{|b|}{|a|}$ を解く。また、不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{|b|}{|a|}$ と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の解を求める。解の公式より、

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$$

$a < b$ なので、$a = 2 - \sqrt{6}$, $b = 2 + \sqrt{6}$。

(2) $a^2 + b^2$ を求める。

$$a^2 + b^2 = (2-\sqrt{6})^2 + (2+\sqrt{6})^2 = (4 - 4\sqrt{6} + 6) + (4 + 4\sqrt{6} + 6) = 10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6} = 20$$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ を求める。

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{20}{(2-\sqrt{6})(2+\sqrt{6})} = \frac{20}{4 - 6} = \frac{20}{-2} = -10$$

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le \frac{|b|}{|a|}$ を解く。

まず、$\frac{a}{b} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}} = \frac{(2 - \sqrt{6})^2}{(2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})} = \frac{4 - 4\sqrt{6} + 6}{4-6} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{-2} = -5 + 2\sqrt{6}$

次に、$\frac{|b|}{|a|} = \frac{|2 + \sqrt{6}|}{|2 - \sqrt{6}|} = \frac{2 + \sqrt{6}}{\sqrt{6} - 2} = \frac{(2 + \sqrt{6})^2}{(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2)} = \frac{4 + 4\sqrt{6} + 6}{6-4} = \frac{10 + 4\sqrt{6}}{2} = 5 + 2\sqrt{6}$

よって、不等式は $|x - (-5 + 2\sqrt{6})| \le 5 + 2\sqrt{6}$ となる。

$-5 - 2\sqrt{6} \le x + 5 - 2\sqrt{6} \le 5 + 2\sqrt{6}$

$-10 \le x \le 4\sqrt{6}$

$4\sqrt{6} = \sqrt{96}$ であり、$\sqrt{81} < \sqrt{96} < \sqrt{100}$ より、$9 < \sqrt{96} < 10$。よって、$-10 \le x \le 9$ (正確には $4\sqrt{6}$)。

$k \le x \le k+3$ を満たす整数 $x$ が2個。 $k \le x \le k+3$ の範囲の幅は3なので、$x$は4個の整数、$x=k, k+1, k+2, k+3$を取りうる。

条件を満たす整数が2個であるためには、$-10 \le k \le 4\sqrt{6}$ かつ $k+3 \ge -10$ かつ $k+3 \le 4\sqrt{6}$

したがって、$k \le x \le k+3$が $-10 \le x \le 9$ ($4\sqrt{6}$) に含まれる整数がちょうど2個の場合を考える。

$k=-10$の時、整数は$-10, -9, -8, -7$が含まれるので条件を満たさない。

$k = 6$の時、$6, 7, 8, 9$が含まれ整数$6, 7, 8, 9$のうち条件を満たすのは $6, 7, 8, 9$となり4個である。

範囲が $-10 \le x \le 9$ であることから、$k \le x \le k+3$ に含まれる整数が2個になるのは、$k = 6, 7$の場合。

$k \le -10$または$k+3 \ge 10$だと整数は2個にならない。

また、$k+10 > 0$である必要があるので、$k > -10$

$k+3 < -10$ のとき、$k<-13$なので満たさない。

$k+3 > 9$ のとき、$k > 6$。 $k \le 6$。

よって、$6 < k \le 7$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2 - \sqrt{6}$, $b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = 20$, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$

(3) $6 < k \le 7$