$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ のとき、以下の式の値を求めよ。ただし、$x>1$ とする。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ (3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$ (4) $x - \frac{1}{x}$

1. 問題の内容

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ のとき、以下の式の値を求めよ。ただし、$x>1$ とする。

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

(3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

(4) $x - \frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (\sqrt{6})^2 - 2 = 6 - 2 = 4$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求める。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (\sqrt{6})^3 - 3\sqrt{6} = 6\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

(3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$ の値を求める。

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14$

(4) $x - \frac{1}{x}$ の値を求める。

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$ より、

$(x - \frac{1}{x})^2 = 4 - 2 = 2$

$x - \frac{1}{x} = \pm\sqrt{2}$

$x > 1$ なので、$x - \frac{1}{x} > 0$。

したがって、$x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{6}$

(3) $x^4 + \frac{1}{x^4} = 14$

(4) $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$