次の6つの2次式をそれぞれ平方完成しなさい。 (1) $x^2+4x$ (2) $2x^2-8x+1$ (3) $-3x^2-6x+3$ (4) $\frac{1}{2}x^2-x+3$ (5) $x^2+3x-2$ (6) $-2x^2+6x-1$

はい、承知いたしました。与えられた2次式を平方完成させる問題ですね。

1. 問題の内容

次の6つの2次式をそれぞれ平方完成しなさい。

(1) $x^2+4x$

(2) $2x^2-8x+1$

(3) $-3x^2-6x+3$

(4) $\frac{1}{2}x^2-x+3$

(5) $x^2+3x-2$

(6) $-2x^2+6x-1$

2. 解き方の手順

平方完成を行う一般的な手順は以下の通りです。

(1) $x^2+4x$

$x$ の係数の半分を2乗したものを足し引きします。$x$ の係数は4なので、その半分は2、2乗すると4です。

$x^2+4x = x^2+4x+4-4 = (x+2)^2 - 4$

(2) $2x^2-8x+1$

$x^2$ の係数で括ります。

$2x^2-8x+1 = 2(x^2-4x)+1$

括弧の中を平方完成します。$x$ の係数は-4なので、その半分は-2、2乗すると4です。

$2(x^2-4x)+1 = 2(x^2-4x+4-4)+1 = 2((x-2)^2-4)+1 = 2(x-2)^2 - 8 + 1 = 2(x-2)^2 - 7$

(3) $-3x^2-6x+3$

$x^2$ の係数で括ります。

$-3x^2-6x+3 = -3(x^2+2x)+3$

括弧の中を平方完成します。$x$ の係数は2なので、その半分は1、2乗すると1です。

$-3(x^2+2x)+3 = -3(x^2+2x+1-1)+3 = -3((x+1)^2-1)+3 = -3(x+1)^2 + 3 + 3 = -3(x+1)^2 + 6$

(4) $\frac{1}{2}x^2-x+3$

$x^2$ の係数で括ります。

$\frac{1}{2}x^2-x+3 = \frac{1}{2}(x^2-2x)+3$

括弧の中を平方完成します。$x$ の係数は-2なので、その半分は-1、2乗すると1です。

$\frac{1}{2}(x^2-2x)+3 = \frac{1}{2}(x^2-2x+1-1)+3 = \frac{1}{2}((x-1)^2-1)+3 = \frac{1}{2}(x-1)^2 - \frac{1}{2} + 3 = \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{5}{2}$

(5) $x^2+3x-2$

$x$ の係数の半分を2乗したものを足し引きします。$x$ の係数は3なので、その半分は$\frac{3}{2}$、2乗すると$\frac{9}{4}$です。

$x^2+3x-2 = x^2+3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-2 = (x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = (x+\frac{3}{2})^2 - \frac{17}{4}$

(6) $-2x^2+6x-1$

$x^2$ の係数で括ります。

$-2x^2+6x-1 = -2(x^2-3x)-1$

括弧の中を平方完成します。$x$ の係数は-3なので、その半分は$-\frac{3}{2}$、2乗すると$\frac{9}{4}$です。

$-2(x^2-3x)-1 = -2(x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})-1 = -2((x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4})-1 = -2(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - 1 = -2(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $(x+2)^2 - 4$

(2) $2(x-2)^2 - 7$

(3) $-3(x+1)^2 + 6$

(4) $\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{5}{2}$

(5) $(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{17}{4}$

(6) $-2(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{7}{2}$