$x = 2 + \sqrt{5}$、 $y = 2 - \sqrt{5}$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = 2 + \sqrt{5}$、 $y = 2 - \sqrt{5}$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x^2 - y^2$ を因数分解すると、$(x+y)(x-y)$ となります。

まず、$x+y$ の値を計算します。

$x+y = (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) = 2 + \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5} = 4$

次に、$x-y$ の値を計算します。

$x-y = (2 + \sqrt{5}) - (2 - \sqrt{5}) = 2 + \sqrt{5} - 2 + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

したがって、$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 4 \times 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$8\sqrt{5}$