不等式 $3^{2x+1} + 2 \cdot 3^x - 1 \le 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $3^{2x+1} + 2 \cdot 3^x - 1 \le 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x} = 3 \cdot (3^x)^2$ と変形できるので、不等式は

$3(3^x)^2 + 2 \cdot 3^x - 1 \le 0$

となります。

ここで、$3^x = t$ と置換すると、不等式は

$3t^2 + 2t - 1 \le 0$

となります。

次に、この2次不等式を解きます。

$3t^2 + 2t - 1 = (3t - 1)(t + 1)$ と因数分解できるので、

$(3t - 1)(t + 1) \le 0$

となります。

したがって、$-1 \le t \le \frac{1}{3}$ です。

$t = 3^x$ であることを思い出すと、$3^x$ は常に正の値を取るので、 $3^x \ge 0$ となります。したがって、$t \ge 0$ です。

よって、不等式の解は $0 \le t \le \frac{1}{3}$ です。

$t = 3^x$ を代入すると、$0 \le 3^x \le \frac{1}{3}$ となります。

$3^x \le \frac{1}{3} = 3^{-1}$ であるから、$x \le -1$ となります。

$3^x$ は常に正であるので $x$ は任意の実数を取りうるので、$3^x \ge 0$ は常に成立します。

3. 最終的な答え

$x \le -1$