二次関数 $f(x) = -2x^2 - 10x - 3$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。

1. 問題の内容

二次関数 $f(x) = -2x^2 - 10x - 3$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。

2. 解き方の手順

まず、二次関数を平方完成の形に変形します。

$f(x) = -2x^2 - 10x - 3$

$f(x) = -2(x^2 + 5x) - 3$

$f(x) = -2(x^2 + 5x + (\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2) - 3$

$f(x) = -2((x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}) - 3$

$f(x) = -2(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{2} - 3$

$f(x) = -2(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{2} - \frac{6}{2}$

$f(x) = -2(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{19}{2}$

平方完成された形は $f(x) = -2(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{19}{2}$ です。

この形から、頂点の座標は $(-\frac{5}{2}, \frac{19}{2})$ であることがわかります。

軸は $x = -\frac{5}{2}$ です。

グラフを描くには、頂点の位置と、下に凸か上に凸かを考えます。$x^2$ の係数が $-2$ で負なので、このグラフは上に凸です。また、$y$切片は $x = 0$ のときの $y$ の値で、$f(0) = -3$ となります。

頂点 $(-\frac{5}{2}, \frac{19}{2}) = (-2.5, 9.5)$ を通る上に凸な放物線を描きます。

また、$y$軸との交点は $(0,-3)$となります。

3. 最終的な答え

グラフ: 頂点 $(-\frac{5}{2}, \frac{19}{2})$ を持ち、上に凸の放物線。

軸: $x = -\frac{5}{2}$

頂点: $(-\frac{5}{2}, \frac{19}{2})$