与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (4k+3)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (4k+3)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、総和の性質を利用して、総和を分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k+3) = \sum_{k=1}^{n} 4k + \sum_{k=1}^{n} 3$

次に、それぞれの総和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} 4k = 4 \sum_{k=1}^{n} k = 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 2n(n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} 3 = 3n$

これらの結果を元の式に代入します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k+3) = 2n(n+1) + 3n = 2n^2 + 2n + 3n = 2n^2 + 5n$

3. 最終的な答え

$2n^2 + 5n$