$(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1)^3 (\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1)^3$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1)^3 (\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1)^3$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を次のように変形します。

$[(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1)(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1)]^3$

次に、$(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1)(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1)$ を計算します。

$(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1)(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1) = [\sqrt{3} + (1 - \sqrt{2})][\sqrt{3} - (1 - \sqrt{2})] = (\sqrt{3})^2 - (1 - \sqrt{2})^2$

$= 3 - (1 - 2\sqrt{2} + 2) = 3 - (3 - 2\sqrt{2}) = 3 - 3 + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$(2\sqrt{2})^3 = 2^3 (\sqrt{2})^3 = 8 \cdot 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$16\sqrt{2}$