与えられた数列の和を計算します。 $\sum_{k=1}^{n-1} (4k + 3)$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (4k + 3)$

2. 解き方の手順

まず、シグマ記号の性質を利用して、和を分割します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (4k + 3) = \sum_{k=1}^{n-1} 4k + \sum_{k=1}^{n-1} 3$

次に、定数倍の性質を利用して、4をシグマの外に出します。

$\sum_{k=1}^{n-1} 4k = 4 \sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k$ は、1から $n-1$ までの自然数の和なので、公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を利用して計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)(n-1+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2 - n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 3$ は、3を $n-1$ 回足し合わせるので、 $3(n-1) = 3n - 3$ となります。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n-1} (4k + 3) = 4 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 3 = 4 \cdot \frac{n(n-1)}{2} + 3(n-1) = 2n(n-1) + 3(n-1) = 2n^2 - 2n + 3n - 3 = 2n^2 + n - 3$

3. 最終的な答え

$2n^2 + n - 3$