関数 $f(x) = 16 \cdot 9^x - 4 \cdot 3^{x+2} - 3^{-x+2} + 9^{-x}$ が与えられています。$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ とおいたとき、以下の問いに答えます。 (1) $t$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めます。 (2) $f(x)$ を $t$ の式で表します。 (3) $x$ の方程式 $f(x) = k$ の相異なる実数解の個数が3個であるとき、定数 $k$ の値と3つの実数解を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 16 \cdot 9^x - 4 \cdot 3^{x+2} - 3^{-x+2} + 9^{-x}$ が与えられています。$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ とおいたとき、以下の問いに答えます。

(1) $t$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めます。

(2) $f(x)$ を $t$ の式で表します。

(3) $x$ の方程式 $f(x) = k$ の相異なる実数解の個数が3個であるとき、定数 $k$ の値と3つの実数解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ の最小値を求めます。相加平均と相乗平均の関係より、

$4 \cdot 3^x + 3^{-x} \geq 2\sqrt{4 \cdot 3^x \cdot 3^{-x}} = 2\sqrt{4} = 4$

等号成立は $4 \cdot 3^x = 3^{-x}$ のときです。

$4 \cdot 3^x = \frac{1}{3^x}$

$4 \cdot (3^x)^2 = 1$

$(3^x)^2 = \frac{1}{4}$

$3^x = \frac{1}{2}$

$x = \log_3(\frac{1}{2}) = -\log_3 2$

したがって、$t$ の最小値は4であり、そのときの $x$ の値は $-\log_3 2$ です。

(2) $f(x) = 16 \cdot 9^x - 4 \cdot 3^{x+2} - 3^{-x+2} + 9^{-x}$ を $t$ の式で表します。

$f(x) = 16 \cdot 9^x - 4 \cdot 3^x \cdot 3^2 - 3^{-x} \cdot 3^2 + 9^{-x}$

$f(x) = 16 \cdot 9^x - 36 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^{-x} + 9^{-x}$

$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ より、

$t^2 = (4 \cdot 3^x + 3^{-x})^2 = 16 \cdot 9^x + 8 \cdot 4 + 9^{-x} = 16 \cdot 9^x + 9^{-x} + 32$

よって、 $16 \cdot 9^x + 9^{-x} = t^2 - 32$

$f(x) = (t^2 - 32) - 9(4 \cdot 3^x + 3^{-x})$

$f(x) = t^2 - 32 - 9t$

$f(x) = t^2 - 9t - 32$

(3) $f(x) = k$ の実数解が3個となるような $k$ を求めます。$f(x) = t^2 - 9t - 32 = k$

$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$

$t^2 - 9t - 32 - k = 0$

$t = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4(32+k)}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{209+4k}}{2}$

$t \geq 4$ であり、$x$ の実数解が3個であるためには、

$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ のグラフを考える必要があります。

$3^x = u$ とおくと、$4u + \frac{1}{u} = t$

$4u^2 - tu + 1 = 0$

$u = \frac{t \pm \sqrt{t^2 - 16}}{8}$

$t > 4$ のとき、$u$ は異なる2つの実数解を持ちます。それぞれに対応する $x$ の値も異なる2つです。

$t = 4$ のとき、$u = \frac{1}{2}$ となり、$x = -\log_3 2$ はただ一つの実数解を持ちます。

$t$ の値が4と異なるもう一つの値が存在し、それに対応する $x$ が一つ存在すれば、実数解は3個となります。

$t > 4$ となる解が一つ存在する必要があり、その値は$t = \frac{9+\sqrt{209+4k}}{2}$で与えられます。

$k$ の値が、$t = 4$を解に持つときに、解が3個となります。

$16 - 36 - 32 - k = 0$ より $k = -52$

このとき、$t = \frac{9 \pm \sqrt{209 - 208}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2} = 5, 4$

$t = 5$ のとき、$4u^2 - 5u + 1 = 0$ より $(4u - 1)(u - 1) = 0$。$u = 1, \frac{1}{4}$

$3^x = 1$ より $x = 0$、$3^x = \frac{1}{4}$ より $x = -\log_3 4$

$f(x)=k$の相異なる解は$x=-\log_3 2$, $x=0$, $x=-\log_3 4$で，$k=-52$

3. 最終的な答え

(1) $t$ の最小値：4, そのときの $x$ の値：$-\log_3 2$

(2) $f(x) = t^2 - 9t - 32$

(3) $k = -52$, $x = -\log_3 2, 0, -\log_3 4$