与えられた数列の和を計算します。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (5k+4)$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算します。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (5k+4)$ を求めます。

2. 解き方の手順

数列の和の公式を利用して計算します。

まず、シグマ記号を分配します。

$\sum_{k=1}^{n} (5k+4) = \sum_{k=1}^{n} 5k + \sum_{k=1}^{n} 4$

次に、定数倍の性質を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} 5k = 5 \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k$ は $1$ から $n$ までの自然数の和なので、$\frac{n(n+1)}{2}$ で表されます。

$\sum_{k=1}^{n} 4$ は定数 $4$ を $n$ 回足し合わせるので、$4n$ となります。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (5k+4) = 5 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 4 = 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n$

これを整理します。

$5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n = \frac{5n(n+1)}{2} + \frac{8n}{2} = \frac{5n^2 + 5n + 8n}{2} = \frac{5n^2 + 13n}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5n^2 + 13n}{2}$